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Hallo zusammen,
hier ist noch eine Frage, die ich nicht lösen kann.
(1) Drücken Sie die Gleichungen für allgemeine Kreise und Geraden in der komplexen Zahlenebene nur unter Verwendung der Addition, Multiplikation komplexer Zahlen sowie der Konjugation aus.
(2) Zeigen Sie, dass die Abbildung z C --> az + b C (a, b C) Kreise in Kreise und Geraden in Geraden abbildet.
(3) Zeigen Sie, dass die Abbildung z C* --> z(-1)(das Inverse) C* Kreise und Geraden in Kreise und Geraden abbildet. Wann wird dabei ein Kreis zu einer Geraden?
Zu 1)Reicht es hier aus, die Gerade als g={Z=A+t.B, tR} A als Stützpunkt und B als Richtungsvektor, auszudrucken?
und für den Kreis entsprechend K={Z:|Z|=r}?
Für den Rest habe ich keine Idee.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hat jemand anders vielleicht eine Idee?
Gruß,
Diana
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> Hallo zusammen,
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> hier ist noch eine Frage, die ich nicht lösen kann.
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> (1) Drücken Sie die Gleichungen für allgemeine Kreise und
> Geraden in der komplexen Zahlenebene nur unter Verwendung
> der Addition, Multiplikation komplexer Zahlen sowie der
> Konjugation aus.
> (2) Zeigen Sie, dass die Abbildung z C --> az + b C (a,
> b C) Kreise in Kreise und Geraden in Geraden abbildet.
> (3) Zeigen Sie, dass die Abbildung z C* --> z(-1)(das
> Inverse) C* Kreise und Geraden in Kreise und Geraden
> abbildet. Wann wird dabei ein Kreis zu einer Geraden?
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> Zu 1)Reicht es hier aus, die Gerade als g={Z=A+t.B, tR} A
> als Stützpunkt und B als Richtungsvektor, auszudrucken?
Nein, ich denke, das ist nicht die gewünschte Form: es dürfte eher nur eine Gleichung in einer komplexen Variablen, sagen wir $z$, gewünscht sein, in der nur die ausdrücklich aufgeführten Operationen auftreten. Was die Gleichung von Geraden betrifft, kannst Du ja in einem ersten Schritt eine spezielle Gerade durch eine Gleichung beschreiben, die den Anforderungen der Aufgabenstellung entspricht: die reelle Achse ist die Lösung der Gleichung [mm] $z=\overline{z}$. [/mm] Nun kannst Du vielleicht eine allgemeine Gerade mit Stützpunkt $a$ und Richtungsvektor $b$ (beide [mm] $\in\IC$) [/mm] auf diese Form bringen: indem Du eine geeignete Abbildung dieser Geraden in allgemeiner Lage auf die reelle Achse dazwischenschaltest. Dies ergibt, ohne jeden Versuch der Verschönerung hingeschrieben, [mm] $\frac{z-a}{b}=\overline{\left(\frac{z-a}{b}\right)}$.
[/mm]
> und für den Kreis entsprechend K={Z:|Z|=r}?
Dies wäre nur gerade ein Kreis mit Mittelpunkt $m=0$ und Radius $r$.
Die Punkte $z$ eines allgemeinen Kreises, also mit Mittelpunkt [mm] $m\in\IC$ [/mm] und Radius $r$, sind die Lösungen der Gleichung $|z-m|=r$ bzw. mit den zugelassenen Verknüpfungen und Operationen ausgedrückt [mm] $(z-m)\overline{(z-m)}=r^2$.
[/mm]
> Für den Rest habe ich keine Idee.
Du wirst nun wohl Deine Antworten auf (1) verwenden müssen, um zu zeigen, was das Bild der Lösungsmenge einer Geradengleichung bzw. einer Kreisgleichung (gemäss (1)) unter den fraglichen Transformationen ist.
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Hallo Somebody und vielen Dank für Deine Unterstützung, die sehr hilfreich ist.
Die Gleichung für den Kreis kann ich sehr gut nachvollziehen. Für die Gerade verstehe ich, warum man a vom z abzieht, aber ich hab noch nicht verstanden, warum man durch b teilt, um die Gleichung für die allgemeine Gerade zu bekommen. Das liegt wahrscheinlich daran, dass ich nicht genug wissen über Vektoren mitbringe. Daran arbeite ich ja gerade :)
Zu den Punkten 2 und 3 habe ich auch eine Frage. Verstehe ich das richtig, dass man die Gleichungen aus 1) in die jeweilige Transformation anstelle von z einsetzt, entwickelt und überprüft, ob diese dieselbe Form am Ende haben, wie in 1) ?
beste Grüße,
Dian
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> Hallo Somebody und vielen Dank für Deine Unterstützung, die
> sehr hilfreich ist.
> Die Gleichung für den Kreis kann ich sehr gut
> nachvollziehen. Für die Gerade verstehe ich, warum man a
> vom z abzieht, aber ich hab noch nicht verstanden, warum
> man durch b teilt, um die Gleichung für die allgemeine
> Gerade zu bekommen. Das liegt wahrscheinlich daran, dass
> ich nicht genug wissen über Vektoren mitbringe. Daran
> arbeite ich ja gerade :)
Also grundlegend ist, dass eine Multiplikation mit einer komplexen Zahl, sagen wir $b$, einer Drehstreckung entspricht (Streckung um $|b|$ und Drehung um den Winkel [mm] $\arg(b)$ [/mm] zwischen $b$, aufgefasst als Vektor, und der positiven Richtung der reellen Achse). Division durch $b$ ist dann einfach eine Streckung um [mm] $\frac{1}{|b|}$ [/mm] (die uns hier eigentlich nicht interessiert) und eine Drehung um den Winkel [mm] $-\arg(b)$. [/mm] Durch diese Drehung wird die Gerade mit Richtungsvektor $b$ eben in die Horizontale gedreht. Weil sie wegen der vorgängigen Subtraktion von $a$ vor dieser Drehung um [mm] $-\arg(b)$ [/mm] bereits einen Punkt mit der reellen Achse gemeinsam hat, wird das Bild der Geraden, bei dieser Gesamtabbildung [mm] $z\mapsto \frac{z-a}{b}$ [/mm] gerade die ganze reelle Achse sein.
> Zu den Punkten 2 und 3 habe ich auch eine Frage. Verstehe
> ich das richtig, dass man die Gleichungen aus 1) in die
> jeweilige Transformation anstelle von z einsetzt,
> entwickelt und überprüft, ob diese dieselbe Form am Ende
> haben, wie in 1) ?
Nimm als einfachstes Beispiel die Frage, was das Bild einer Geraden unter der Abbildung [mm] $z\mapsto [/mm] w:=az+b$ eines Kreises [mm] $k:\;\left(z-m\right)\cdot\overline{\left(z-m\right)}=r^2$ [/mm] sei. Nun, $w$ ist genau dann das Bild eines Punktes des Kreises $k$, wenn sein Urbild, [mm] $z=\frac{w-b}{a}$, [/mm] die Kreisgleichung erfüllt. Wenn also gilt:
[mm]\left(\frac{w-b}{a}-m\right)\cdot\overline{\left(\frac{w-b}{a}-m\right)}=r^2[/mm]
Dies kannst Du umformen zu
[mm]\left(w-(am+b)\right)\cdot\overline{\left(w-(am+b)\right)}=(|a|r)^2[/mm]
Dies musst Du als Gleichung für $w$ auffassen: alle anderen Grössen sind Konstanten (bzw. Formvariable). Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist ein Kreis, wie ein Vergleich mit der allgemeinen Form einer Keisgleichung (in Mittelpunktsform) sogleich zeigt: es handelt sich um die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt $am+b$ und Radius $|a|r$. Dies ist genau, was man erwarten würde: denn die Abbildung [mm] $z\mapsto [/mm] az+b$ unterwirft $z$ zuerst einer Drehstreckung um $a$ und verschiebt dann den resultierenden Punkt um $b$. Also wird der Radius um dem Streckfaktor $|a|$ vergrössert (bzw. verkleinert) und Mittelpunkt des Bildes von $k$ wird das Bild des Mittelpunkts $m$ von $k$ unter der Abbildung [mm] $z\mapsto [/mm] az+b$, also der Punkt $am+b$.
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