Gebr.rat.Schar (mit/ohne VZW) < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:51 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Ailien. |
| Aufgabe | | Polstellen der Funktion [mm] f(x)=\bruch{x^2}{x^2-t} [/mm] |
Hallo =)
Also um die Polstellen zu bestimmen, muss ich ja den Nenner nullsetzen, dh. [mm] 0=x^2-t
[/mm]
Dann löse ich nach x auf und bekomme die Werte [mm] \pm \wurzel{t}
[/mm]
Nun muss ich natürlich die Abhängigkeit betrachten und sehe, dass nur Polstellen vorhanden sind, wenn t>0.
Nun zu meiner Frage. Wie bestimme ich nun das Kriterium mit oder ohne Vorzeichenwechsel? Normalerweise muss ich doch eine kleinere/größere Zahl für den X-Wert in f(x) einsetzen und gucken, welche Zahlen sich ergeben. Bei einem Vorzeichenwechsel hat man also einen Pol mit VZW, aber wie bestimme ich das für [mm] \wurzel{t}? [/mm] Setze ich da eine bestimmte Zahl zB 2 ein und überprüfe dann?
Danke schonmal für eure Hilfe!
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> Polstellen der Funktion [mm]f(x)=\bruch{x^2}{x^2-t}[/mm]
> Hallo =)
> Also um die Polstellen zu bestimmen, muss ich ja den
> Nenner nullsetzen, dh. [mm]0=x^2-t[/mm]
> Dann löse ich nach x auf und bekomme die Werte [mm]\pm \wurzel{t}[/mm]
entweder zerlegst du den nenner direkt am anfang, falls du das 3. binom erkennst: [mm] x^2-t=(x+\sqrt{t})*(x-\sqrt{t}) [/mm]
oder du benutzt deine oben erhaltenen nullstellen und faktorisierst sie. [mm] (x-nullstelle_1)*(x-Nullstelle_2) [/mm] und kriegst auch hier [mm] (x-\sqrt{t})*(x-(-\sqrt{t})) [/mm] hier schaust du ob der grad jedes Faktoren ungerade ist (^3 ^5 ^1) oder gerade (^2 ^4). bsp:
[mm] (x-1)^2*(x+2) [/mm] (soll nur den nenner darstellen, und sei nicht kürzbar): Der erste Faktor hat den Grad 2: Polstelle also OHNE VZW an der Stelle 1; der 2. Faktor hat den Grad 1: Polstelle also MIT VZW an der Stelle -2!
>
> Nun muss ich natürlich die Abhängigkeit betrachten und
> sehe, dass nur Polstellen vorhanden sind, wenn t>0.
> Nun zu meiner Frage. Wie bestimme ich nun das Kriterium mit
> oder ohne Vorzeichenwechsel? Normalerweise muss ich doch
> eine kleinere/größere Zahl für den X-Wert in f(x) einsetzen
> und gucken, welche Zahlen sich ergeben. Bei einem
> Vorzeichenwechsel hat man also einen Pol mit VZW, aber wie
> bestimme ich das für [mm]\wurzel{t}?[/mm] Setze ich da eine
> bestimmte Zahl zB 2 ein und überprüfe dann?
>
> Danke schonmal für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:32 Mi 13.05.2009 | | Autor: | abakus |
> > Polstellen der Funktion [mm]f(x)=\bruch{x^2}{x^2-t}[/mm]
> > Hallo =)
> > Also um die Polstellen zu bestimmen, muss ich ja den
> > Nenner nullsetzen, dh. [mm]0=x^2-t[/mm]
> > Dann löse ich nach x auf und bekomme die Werte [mm]\pm \wurzel{t}[/mm]
>
> entweder zerlegst du den nenner direkt am anfang, falls du
> das 3. binom erkennst: [mm]x^2-t=(x+\sqrt{t})*(x-\sqrt{t})[/mm]
> oder du benutzt deine oben erhaltenen nullstellen und
> faktorisierst sie. [mm](x-nullstelle_1)*(x-Nullstelle_2)[/mm] und
> kriegst auch hier [mm](x-\sqrt{t})*(x-(-\sqrt{t}))[/mm] hier schaust
> du ob der grad jedes Faktoren ungerade ist (^3 ^5 ^1) oder
> gerade (^2 ^4). bsp:
> [mm](x-1)^2*(x+2)[/mm] (soll nur den nenner darstellen, und sei
> nicht kürzbar): Der erste Faktor hat den Grad 2: Polstelle
> also OHNE VZW an der Stelle 1; der 2. Faktor hat den Grad
> 1: Polstelle also MIT VZW an der Stelle -2!
> >
> > Nun muss ich natürlich die Abhängigkeit betrachten und
> > sehe, dass nur Polstellen vorhanden sind, wenn t>0.
> > Nun zu meiner Frage. Wie bestimme ich nun das Kriterium mit
> > oder ohne Vorzeichenwechsel? Normalerweise muss ich doch
> > eine kleinere/größere Zahl für den X-Wert in f(x) einsetzen
> > und gucken, welche Zahlen sich ergeben. Bei einem
> > Vorzeichenwechsel hat man also einen Pol mit VZW, aber wie
> > bestimme ich das für [mm]\wurzel{t}?[/mm] Setze ich da eine
> > bestimmte Zahl zB 2 ein und überprüfe dann?
> >
> > Danke schonmal für eure Hilfe!
Hallo,
hier geht es mit einer ganz einfachen Überlegung:
der Zähler ist (falls x nicht gerade Null ist) immer positiv.
Ist [mm] x^2 [/mm] ein wenig größer als t, ist auch der Nenner positiv. ist [mm] x^2 [/mm] jedoch ein wenig kleiner als t, wird der Nenner (und damit der gesamte Bruch) negativ.
Damit gibt es sowohl bei [mm] \wurzel{t} [/mm] als auch bei [mm] -\wurzel{t} [/mm] einen VZW.
Gruß Abakus
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