Gebremstes Bakterienwachstum < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgrund begrenzten Nahrungsangebotes können sich Bakterien nicht unbegrenzt vermehren .Die Populationsgröße f'(t) hat ein obere Schranke n, der sie sich nähert. Folglich veringert sich die Wachstumsgeschwindigkeit
f'(t) je größer f(t) wird , d.h je kleiner n-f(t) wird.Das MOdell des gebremsten Wachstums geht aus von der (einfachsten) Annahme :
[n-f(t)] sei proportional zu f'(t).Dies ist gleichbedeutend mit der DGL:
f'(t)=c(n-f(t)) c,n [mm] \in [/mm] IR
Anfangsbedingung ist [mm] f(0)=n_{0}>0
[/mm]
[mm] f(t)=n-(n-n_{0})e^{-ct}
[/mm]
Aufgabe: Kurvendiskussion und Graf für c=0.5; [mm] n_{0}=10 [/mm] n=100 |
Hey Leute ,
muss morgen ein Refrat über diese Aufgabe machen, würde mich freuen wenn ihr mir bei dieser Aufgabe helfen könntet .
Meine Ergebnisse:
Keine Nullstellen
Keine Extrema
Keine Wendestellen
Beim Verhalten komm ich hier nicht weiter. Da in dieser Aufgabe eine Schranke vorhanden ist, kann es nur bis n wachsen meiner Meinung?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Di 15.01.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
1. Nullstellen
es ist die Gleichung
f(t) = [mm] n-(n-n_{0})e^{-ct} [/mm] = 0 zu lösen.
Daraus folgt
t = [mm] -\bruch{1}{c}ln(\bruch{n}{n-n_0})
[/mm]
2. Maximum
f'(t) = [mm] c*(n-n_0)e^{-ct} \ge [/mm] 0 also monoton wachsend. Das Maximum tritt also bei t = [mm] \infty [/mm] auf.
[mm] \limes_{t\rightarrow\infty} [/mm] f(t) = n
3. Wendestellen
f''(t) = [mm] -c^2*(n-n_0)*e^{c*t} [/mm] > 0 also keine Wendepunkte
mfg ullim
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Vielen Dank für deine Hilfe .ich hab nur nicht wirklich verstanden warum das extrema [mm] t=\infty [/mm] ist kannst du mir das bitte erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Di 15.01.2008 | | Autor: | MacMath |
Damit wirst du in der Behauptung es gibt kein Extremum bestätigt. Die Funktion wächst ständig weiter an ( heißt f'(x)>0 )
woraus folgt dass es keine reelle Zahl geben kann an der die Funktion einen maximalen Wert annimmt (schließlich ist der Funktionswert "ein bisschen weiter rechts" noch größer).
Ein hypothetisches Maximum liegt also bei unendlich, denn da berührt die Fkt. ihre Schranke n.
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Vielen dank jetzt hab ich es verstanden doch noch hab ich schwierigkeiten bei der ermittlung von dem Grenzwert und bei der untersuchung im unendlichen ?Könntet ihr mir das an hand dieser Aufgabe bitte erklären
Lg Defjam
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:25 Mi 16.01.2008 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
setz die Werte doch einfach mal ein.
Alles unter t=0 macht ja keinen Sinn, da es keine negative Zeit gibt (mathematisch natürlich eigentlich schon, aber das sollte hier nicht wichtig sein).
Jetzt setze mal [mm] t=\infty [/mm] ein.
[mm] e^{-\infty} [/mm] ist ja 0, da ist es egal, ob man den Exponenten noch mal c nimmt oder nicht, unendlich ist immer größer als ein gegebener Wert. Da 0 mal irgendwas immer noch 0 ist, fällt alles rechts vom minus weg. Links vom minus steht nur das n, das bleibt da, egal, wie groß t wird.
Kurz gesagt:
[mm] \limes_{t\rightarrow\infty}f(t)=n
[/mm]
Sprich:
Mit der Zeit nähert sich f(t) immer weiter dem Grenzwert n an.
Hast du das verstanden?
Grüße,
Oli
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