Gebrochen-rationale Funktion < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen
Da ich zum erstenmal in deisem Forum schreibe, darf ich mich kurz vorstellen. Mein Name ist Björn, komme aus der Schweiz und bin zurzeit völlig übervordert mit dem Thema gebrochen-rationale Funktionen.
Ich habe die Forumsregeln gelesen, mir ist als bekannt das ich keine allgemeinen Fragen stellen sollte. Leider sagt mir mein Mathebuch nicht wie ich analytisch an das Thema rangehen kann. angenommen mir wird folgende Aufgabe gestellt:
[mm]
\bruch{x-1}{(x-2)^2}
[/mm]
Mein Vorschlag:
Als erstes schaue ich ob m > n oder m < n ist. Nun weis ich ob es eine echt oder unecht gebrochene rationale Funktion ist. Wenn möglich mache ich danach eine Polynomdivision. Dies erlaubt mir die Null und pollstellen zu finden.
Ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen, und verbleibe mit freundlichen Grüssen:
Björn
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo!
Eine gebrochen-rationale Funktion hat die Gestalt [mm] $f(x)=\bruch{p(x)}{q(x)}$, [/mm] wobei $p$ und $q$ Polynome sind.
Um die Nullstellen von $f$ zu finden, suchst du die Nullstellen von $p$. Das wäre bei deinem Beispiel dann [mm] $x_0=1$.
[/mm]
Um die Polstellen von $f$ zu finden, suchst du die Nullstellen von $q$. Das sind bei dir [mm] $x_{1,2}=2$.
[/mm]
Schaun wir uns mal ein anderes Beispiel an: [mm] $f(x)=\bruch{x^2-3x+2}{x^2-1}$. [/mm]
Hier ist [mm] $p(x)=x^2-2x+1$. [/mm] Nullstellen von $f$ vermutet man also an den Stellen [mm] $x_0=1$ [/mm] und [mm] $x_1=2$.
[/mm]
Außerdem ist [mm] $q(x)=x^2-1$. [/mm] Polstellen vermutet man also an den Stellen [mm] $x_2=1$ [/mm] und [mm] $x_3=-1$. [/mm] Da $1$ eine Nullstelle von $p$ und von $q$ ist, ist hier keine Polstelle, sondern nur eine Definitionslücke: [mm] $f(x)=\bruch{x^2-3x+2}{x^2-1}=\bruch{x-2}{x+1}$. [/mm] Man kann die Polstelle also sozusagen gegen die Nullstelle "kürzen".
Letztlich kommt heraus, dass $f$ eine Nullstelle bei $2$ hat und eine Polstelle bei $-1$ sowie eine Definitionslücke bei $1$...
Ist dir das ganze etwas klarer geworden?
Gruß, banachella
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Sali banachella
Vielen Dank für deine Antwort. Dann kann man also ganz allgemein sagen, dass ich beim Zählerpolynom p die Nullstelle suchen kann, und als Resultat die Nullstelle von f habe. Suche ich die Nullstelle vom Nennerpolynom q erhalte ich die Polstelle von f.
Die Nullstellen finde ich wie bei Ganzrationelen Funktionen bei [mm] x^3 [/mm] durch probieren, dannach mache ich eine Polynomdivision und finde anschliessend mittels der quadratischen Ergänzung die restlichen Nullstellen, wenn vorhanden.
Falls der Zähler und Nennerpoynom eine gemeinsahme Nullstelle haben, ist dies eine Definitionslücke?
Stimmt das einigermassen?
Besten Dank für deine Bemühungen und freundliche Grüsse: Björn
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Sali Loddar
Vielen Dank für deine Antwort. Das Thema behebbare Definitionslücke muss ich noch im Buch nachlesen. Ich denke das ich mich morgen wieder melden werde 
Ich erlaube mir ttrotzdem noch eine Frage. Was ist der grösstmögliche Definitionsbereich? Ich weiss das ich nun ein Vorschlag machen muss, jedoch habe ich überhaupt keine Ahnung was ich dazu noch dagen soll :-(
Ich bedanke mich für eure Bemühungen und wünsche einen schönen Abend.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Björn!
> Was ist der grösstmögliche Definitionsbereich?
Der "Normalfall" sind ja alle reelle Zahlen : $D \ = \ [mm] \IR$.
[/mm]
Bei gebrochen-rationalen Funktionen musst du dann die Defintionslücken (das waren ja alle Nullstellen des Nenners) wieder ausschließen.
Also z.B. (siehe oben Dein Beispiel) : $D \ = \ [mm] \IR [/mm] \ [mm] \backslash [/mm] \ [mm] \{ 2 \}$
[/mm]
Aufpassen muß man z.B. noch bei Wurzelausdrücken. Schließlich ist die Wurzel [mm] $\wurzel{z}$ [/mm] nur definiert für $z \ [mm] \ge [/mm] \ 0$.
Oder bei Logarithmus-Funktionen [mm] $\ln(z)$ [/mm] muß das Argument $z$ echt größer Null sein: $z \ > \ 0$.
Nun alle Klarheiten beseitigt?
Gruß
Loddar
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Vielen Dank Loddar für deine Antwort. Doch das habe ich noch nicht ganz Begriffen.
Ich möchte jedoch erneut bei meiner vorher gestellten Frage anknüpfen.
Ich habe mein schlaues Mathebuch zur Hand genommen und das mit den Nullstelle und den Polstellen ausprobiert. Dabei haben sich folgende Fragen an dieser Übung gestellt:
[mm]
f (x)= \bruch{-0,5}{(x-3)^2}
[/mm]
Ich versuchte wie eben gelernt die Polstelle zu errechnen. Dazu rechnete ich [mm] (x-3) (x-3) = x^2 -6x +9 = 3.[/mm]
Meine Polstelle ist als 3.
Als nächstes veruchte ich die Nullstelle zu berechnen, und das stellte sich das Problem heraus. was für Möglichkeiten hier eine Nullstelle zu berechnen habe ich da? Kann ich da -0.5 (x-3)^-2 rechnen? Wenn ja, wie mache ich das? Kann ich -0.5 - (x-3) (x-3) rechnen?
Eigentlich muss ich sagen das ich die Nullstelle auch bei einem Zählerpolynom z.B 2x-3 auch nicht berechnen :-(
Ich bedanke mich schon im Voraus für eure kompetenten Antworten und verbleibe mit freundlichen Grüsse:
Björn
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Danke Loddar
uiuiui, du hast natürlich recht.
> Das fällt mir jetzt aber schwer zu glauben, daß Du die
> Gleichung [mm]2x-3 \ = \ 0[/mm] nicht nach x umstellen kannst.
> Denn dieser x-Wert wäre dann die Nullstelle [mm]x_N[/mm].
demzufolge kann man also sagen das ich einfach den den zählerpolynom nach x auflösen kann? demzufolge ist die Nullstelle (Schnittstelle) bei y nun 1.5?
Merci und e schöne abe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Björn!
> demzufolge kann man also sagen das ich einfach den den
> zählerpolynom nach x auflösen kann? demzufolge ist die
> Nullstelle (Schnittstelle) bei x nun 1.5?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Janz jenau ...
Gruß
Loddar
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OK, vielen Dank für die Antworten.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Saletti nochmals
Ich habe einwenig im Forum gesucht und die Anfragen von Andi235 gesehen. Ich versuchte die von ihme gestellte Aufgabe auch zu lösen. Ich erstellte dazu jedoch ein pdf, da ich sond ca. 3 Stunden damit verbracht hätte meine Frage zu stellen
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Dateianhang 1
Meine Frage nun, bin ich auf dem richtigen Weg? Wie gehts hier nun weiter?
Besten Dank und einen schönen Tag wünscht:
Björn
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Do 12.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Björn,
ein flüchtiger Blick zeigte mir zwei Sachen.
1. in deiner p-q-Formel ist p=-1 und nicht p=1 [mm] \Rightarrow [/mm] dass die Nullstellen [mm] x_{1}=3; x_{2}=(-2); x_{3}=1 [/mm] sind
2. [mm] x_{3} [/mm] ist ebenfalls im Nenner vorhanden -- vielleicht solltest du erst einmal eine Polynomdivision durchführen, gerade im Betracht, dass das Zählerpolynom einen höheren Grad besitzt.
Gruß Herby
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Sali Herby
Merci für deine Antwort.
Demzufolge ist x1 =3 und x2 = -2 und x3 = 1. OK Nun habe ich also alle Achsenschnittpunkte von x. Bez. Punkt 2 muss ich mich wohl für meine Schrift entschuldigen Es sollte schon [mm] x^2 [/mm] heissen. Der Nenner liefert mir ja die Polstellen. Stimmt x2 = 1 und x1 = 2?
x3 vom Zähler und x2 vom Nenner sind ja beide 1. Demzufolge ist 1 eine behebbare Definitionslücke?
Wie geht es nun weiter? Wann ist die Rechnung fertig? Wie ihr seht, habe isch schon noch einen dicken Knoten
Besten Dank für eure Bemühungen und Gruess:
Björn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Do 12.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hi Björn,
deine Antworten sind bis hierhin korrekt. Das [mm] x^2 [/mm] habe ich auch erkannt, nur die zweite Nullstelle nicht erwähnt -- wegen der Polynomdivision.
Viel gibt es bei der Funktion auch nicht mehr zu tun, den Schnittpunkt mit der Ordinate bestimmen vielleicht noch. Wendestellen und weitere Schnittpunkte sind ja nicht vorhanden.
Wenn du Lust hast, kannst du mal die Tangentengleichung im Punkt (4|??) bestimmen. (Vergleichslösung [mm] g_{(t)}\approx1.44444...*t-2.55555...)
[/mm]
Wenn ich so Punkte mache, heißt das, das Ergebnis ist ungerundet offen, es kommen danach noch ein paar Stellen.
Die Tangente schneidet übrigens wieder die Funktion [mm] f_{(x)}.
[/mm]
So kann man sich Stundenlang beschäftigen, schick ne!!!!
Allgemein gibt es aber keine Regel "wieviel" man bei einer Aufgabe rechnen muss (darf), das hängt ganz von der Funktion (und dem Nutzer)ab.
lg Herby
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Sali Herby. Merci für deine Antwort.
Gerne beziehe ich mich auf die Frage von Andi235 in seinem Thred (Ich weiss nicht ob ich das darf)
Als erstes hat er ja den Definitionsbereich bestimmt. Das haben wir ja auch gemacht. Wie haben x1 =2 und x2 =1. Als zweites bestimmt er die Art der Definitionslücke. Ergebnis z(2) -4 und z(1) =0. Das verstehe ich bereits nicht mehr. Nimmt man hier den Zählerpolynom und multipliziert ihn mit der Nullstelle? Danach vestimmt er f*. Auch hier weiss ich nicht was das ist.
Ich habe eben noch immer einen Knoten :-(
Ich will euch ja nicht ärgern, ich checke es einfach nicht.
Gruess Björn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Do 12.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Björn,
jetzt hab' ich mir das bei Andi235 auch 'mal beguckt (oder [mm] bekuckt)_{beides richtig... A.d.R.};
[/mm]
die Schreibweise von einigen Sachen ist nicht immer einheitlich.
Trotzdem keine Panik:
1. Die Art der Definitionslücke (behebbar) wurde dadurch gezeigt, dass sowohl im Zäher- als auch im Nennerpolynom die 1 als Nullstelle auftaucht. der Pfeil [mm] (\Rightarrow) [/mm] ist hier etwas unglücklich gewählt und ist nicht im Sinne "daraus folgt" oder "impliziert" zu interpretieren.
2. Mit der Funktion f*_{x} soll verdeutlicht werden, dass diese Funktion durch kürzen aus der Funktion [mm] f_{x} [/mm] entstanden ist. Das Zeichen "*" bedeutet hier nicht die Multiplikation sondern soll die "unterschiedlichen" Funktionen kennzeichnen.
3. Um uns zu ärgern musst du schon mehr machen, als zu hinterfragen!!!
Gruß Herby
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Merci für die Antwort.
Ok, ich habe im Zählerpolynom, sowie im Nennerpolynom eine 1. Dies weist auf eine behebbare Definitionslücke hin. Wie komme ich den auf die -4 wie im Beispiel von Andi? War ich den sehr falsch mit der Multiplikation der Nullstelle?
Gruess Björn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Do 12.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo,
für mich heute das letzte Mal!!!
Auf die -4 kommst du, indem du in das Zählerpolynom den Wert x=2 einsetzt. (Frag mich bitte nicht mehr, ob das die Nullstelle 1,2 oder 3 war, ich glaub' 2).
Tschüss, bis vielleicht morgen
Herby
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Du kannst heute natürlich gerne weitere Fragen stellen, es werden sich genügend User um dich kümmern
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Besten Dank für deine Bemühungen. OK, ev. hast du ja morgen für meine Frage Zeit:Wir hatten ja die Nullstellen x1 =3; x2= (-2) und x3 = 1
Weshalb setze ich ausgerechnet x2 ein? und ist das Standart?
OK, nochmals merci und gruess:
Björn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Fr 13.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Björn,
das mit den drei Nullstellen war "Humbuk" (schreibt man das so???). Der Wert 2 kam von den Nullstellen des Nennerpolynoms!! Allerdings war ich gestern schon mit'm Zug unterwegs, als es mir auffiel, sorry.
Das Einsetzen macht in sofern Sinn, da, wenn das Zählerpolynom ebenfalls Null geworden wäre, man eine weitere behebbare Definitionslücke gahabt hätte. Ist aber bei -4 nicht der Fall gewesen.
Zum Vorgehen: entweder du ermittelst im Zählerpolynom die Nullstellen und überprüfst diese im Nenner, oder umgekehrt. Du solltest die Nullstellen in dem Polynom ermitteln, welches den höheren Grad besitzt, dann sparst du dir eventuell einen kleinen Rechenschritt. Letztendlich musst du aber alle Nullstellen ermitteln, wenn es die Aufgabebstellung fordert.
Ganz davon abgesehen laufen die schulischen Aufgaben eh mit zumindest einer ganzzahligen Nullstelle von Statten. In der Praxis werden die Lösungen mit Näherungsverfahren angenähert, denn ohne bekannte Nullstelle ist auch keine Polynomdivision, respektive weitere Verarbeitung der Funktion möglich (Anm: wenn nicht sogar schon die Funktion mit Näherungslösungen vereinfacht worden ist).
lg Herby
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Vielen Dank für deine Bemühungen:
Gruess Björn
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Wenn es nicht eine Nullstelle von Zählerpolynom p und Nennerpolynom q ist. Dann haben wir im allgemeinen auch keine Nullstelle von der Funktion f.
p/q-Formel
...
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
Wie kommst Du hier auf $= \ [mm] \red{3}$ [/mm] ?? Du meinst wohl eher $= \ [mm] \blue{0}$, [/mm] oder?
