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| Aufgabe | Eine gebrochenrationale Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:
a) Nullstellen x1= 2 (einfach) ; x2= -4 (doppelt)
b) Pole x3= -1 ; x4= 1
c) y(0)= 4
Weitere Pole und Nullstellen liegen nicht vor. Wie lautet die Funktionsgleichung?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß zwar wie man eine Funktion aufstellt mit den Nullstellen und den Polen, aber dieser Punkt(0/4) bringt mich völlig aus dem Konzept. Ich hoffe jemand kann mir helfen die Aufgabe zu lösen!
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Hallo eathens.schnupu,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Eine gebrochenrationale Funktion besitzt die folgenden
> Eigenschaften:
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> a) Nullstellen x1= 2 (einfach) ; x2= -4 (doppelt)
> b) Pole x3= -1 ; x4= 1
> c) y(0)= 4
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> Weitere Pole und Nullstellen liegen nicht vor. Wie lautet
> die Funktionsgleichung?
Ich denke, hier reicht es abzulesen. Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind die Nullstellen des Zählerpolynoms und die Pole sind die Nullstellen des Nennerpolynoms, also wäre die Funktion hier:
[mm]\widetilde{y}(x) := \frac{(x-2)(x+4)^2}{(x+1)(x-1)}[/mm]
So jetzt hast du noch das Problem mit der 0. Aber ich denke, das müßte sich durch Normierung von [mm]y(x)[/mm] lösen. Es gilt ja [mm]\widetilde{y}(0) = \tfrac{2\cdot{4^2}}{1}[/mm]. Die Frage ist also: Wie kriegen wir eine 8 in den Nenner? Na ja, folgende Nenner erfüllen ja auch die Pol-Bedingungen: [mm](x+1)(8x-8)[/mm] oder [mm](8x+8)(x-1)[/mm]. (Sicherlich liese sich da noch etwas Anderes finden.) Damit wäre eine geeignete Funktion, z.B.:
[mm]y(x) := \frac{(x-2)(x+4)^2}{(x+1)(8x-8)}[/mm]
Viele Grüße
Karl
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