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Forum "Rationale Funktionen" - Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke
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Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Di 29.08.2006
Autor: scrax

ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Heute hatten wir das erste Mal Aufgaben mit Lücken und den dazugehörigen Ersatzfunktionen. Bevor ich weiter rechne würde ich mir gerne meine Ersatzfunktion bestätigen lassen:

f(x)= [mm] x^3-3x^2+4 [/mm] / [mm] x^3+2x^2-13x+10 [/mm]

Pol= -5 und 1
Lücke= 2

Ersatzfunktion: [mm] x^2-4x+4 [/mm] / [mm] x^2+3x-10 [/mm]
        
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Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Di 29.08.2006
Autor: Herby

Hallo,

da hast du anscheinend Rechenfehler drin.

Im Zähler bleibt (x-2)*(x+1) und im Nenner (x+5)*(x-1)



Liebe Grüße
Herby
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Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 Di 29.08.2006
Autor: scrax

Hallo Herby und danke für die rasche Antwort,

Hmm.... das versteh ich aber  nicht. Ich habe bei der Vorgehenweise das Horner-Schema angewandt. War das falsch?


ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 Di 29.08.2006
Autor: Herby

Hi Katharina,



> Hallo Herby und danke für die rasche Antwort,
>  
> Hmm.... das versteh ich aber  nicht. Ich habe bei der
> Vorgehenweise das Horner-Schema angewandt. War das falsch?

nein, das war sicher nicht falsch, ich gehe wie gesagt davon aus, dass du da irgendwo einen Rechenfehler drin hast.

Wenn du erkannt hast, dass deine Nullstellen (Pole) so lauten, dann ist es halt einfacher die gemeinsame Nullstelle (hier [mm] x_1=2) [/mm] im Zähler und Nenner zu kürzen und die anderen wieder auszumultiplizieren.

Aber andersherum - Polynomdivision bzw. Hornerschema - geht natürlich ebenfalls.


Liebe Grüße
Herby
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Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Di 29.08.2006
Autor: scrax

Ahhh!!! Man muss die 2 die man für die Lücke in das Horner-Schema einsetzen. Ich dachte man muß IRGENDEINE Nulltelle finden und davon davon die Ersatzfunktion bilden. Danke für den Hinweis. Kann ich noch die Aufgabe zu Ende rechnen und Ergebnisse vergleichen?? (Bitte)

Gruß Katharina
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Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:10 Di 29.08.2006
Autor: Herby

Hi,

du kannst jederzeit jede Aufgabe zu Ende rechnen und hier deine Ergebnisse reinstellen - genau dafür ist dieses Forum gedacht und gemacht und wird ständig weitergemacht [grins]

Ich bin sicher, dass deine Ergebnisse kontrolliert und ggf. berichtigt werden.

Liebe Grüße
Herby
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Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 Di 29.08.2006
Autor: scrax

Danke Herby...,

und wie auf Bestellung schon die nächste Frage:

ich habe die erste Ableitung gemacht:

f'(x)= [mm] 5x^2-3x+13 [/mm] / [mm] (x^2+4x-5)^2 [/mm]

Jetzt die 2. Ableitung (die bereitet mir Kopfschmerzen!!!) mit der Quotienten-Regel:

u= [mm] 5x^2-3x+13 [/mm]
u'= 10x-3
v= [mm] (x^2+4x-5)^2 [/mm]    (oder soll ich das ausrechnen, dann aber habe ich keine Klammern zum Kürzen des Nenners)

v'= [mm] (x^2+4x-5)^4 [/mm]   (oder wieder aurechnen; Aber Problem s.o)

Wie soll man das ausrechnen??
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Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Di 29.08.2006
Autor: Roadrunner

Hallo scrax!



> ich habe die erste Ableitung gemacht:
>  
> f'(x)= [mm]5x^2-3x+13[/mm] / [mm](x^2+4x-5)^2[/mm]

Hier habe ich im Zähler ein klein wenig was anderes erhalten:

$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{5x^2-\red{6}x+13}{\left(x^2+4x-5\right)^2}$ [/mm]

  
> Jetzt die 2. Ableitung (die bereitet mir Kopfschmerzen!!!)
> mit der Quotienten-Regel:
>  
> u= [mm]5x^2-3x+13[/mm]
> u'= 10x-3

[ok]


> v= [mm](x^2+4x-5)^2[/mm]    (oder soll ich das ausrechnen, dann
> aber habe ich keine Klammern zum Kürzen des Nenners)

Nein, davon rate ich ab, da Du Dich dann beim Vereinfachen um den Vorteil des Kürzens bringst ...


> v'= [mm](x^2+4x-5)^4[/mm]

[notok] Das ist nicht die Ableitung $v'_$ sondern der neue Nenner der 2. Ableitung $f''(x)_$ .

Die Ableitung $v'_$ ergibt sich hier mit der MBKettenregel:

$v' \ = \ [mm] \underbrace{2*\left(x^2+4x-5\right)^1}_{\text{äußere Ableitung}}*\underbrace{\left(x^2+4x-5\right)'}_{\text{innere Ableitung}} [/mm] \ = \ [mm] \blue{2}*\left(x^2+4x-5\right)*(2x+4)$ [/mm]


Und nun in die Formel für die MBQuotientenregel einsetzen ...


Gruß vom
Roadrunner

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Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 Di 29.08.2006
Autor: scrax

Hallo Roadrunner,

danke für die Antwort. Ich seh vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr...

Die Ableitung $ v'_ $ ergibt sich hier mit der MBKettenregel:

$ v' \ = \ [mm] \underbrace{2\cdot{}\left(x^2+4x-5\right)^1}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{\left(x^2+4x-5\right)'}_{\text{innere Ableitung}} [/mm] \ = \ [mm] \left(x^2+4x-5\right)\cdot{}(2x+4) [/mm] $  

Könntest du mir bitte genauer erklären wie du zu dieser Ableitung gekommen bist, denn bei mir lautet sie:

f''(x)= [mm] 2*(x^2+4x-5)*(2x*4) [/mm]

MfG Katharina
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Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Di 29.08.2006
Autor: Herby

Huhu,

bin wieder da, just eingeflogen ;-)

> Hallo Roadrunner,
>  
> danke für die Antwort. Ich seh vor lauter Bäumen den Wald
> nicht mehr...
>  
> Die Ableitung [mm]v'_[/mm] ergibt sich hier mit der MBKettenregel:
>  
> [mm]v' \ = \ \underbrace{2\cdot{}\left(x^2+4x-5\right)^1}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{\left(x^2+4x-5\right)'}_{\text{innere Ableitung}} \ = \ \left(x^2+4x-5\right)\cdot{}(2x+4)[/mm]
>  
>
> Könntest du mir bitte genauer erklären wie du zu dieser
> Ableitung gekommen bist, denn bei mir lautet sie:
>  
> f''(x)= [mm]2*(x^2+4x-5)*(2x*4)[/mm]
>  

das kann ich dir erklären, in Roadrunner seiner Ableitung ist im rechten Term die 2 flöten gegangen - kann mal passieren :-)

und bei dir hat sich ein * statt eines + eingeschlichen, oder war das Absicht [kopfkratz3]


Liebe Grüße
Herby
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Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 Di 29.08.2006
Autor: scrax

das kann ich dir erklären, in Roadrunner seiner Ableitung ist im rechten Term die 2 flöten gegangen - kann mal passieren :-)

Na klar, was meinst du wie oft mir so was passiert  (hmm... eigentlich immer :-()

und bei dir hat sich ein * statt eines + eingeschlichen, oder war das Absicht [kopfkratz3]

ohoh... alles mit Absicht...
Hab inzwischen eine 2. Ableitung (aber die ist dann wohl falsch)

f''(x)= [mm] -10x^3+18x^2-78x-74 [/mm] / [mm] (x^2+4x-5)^3 [/mm]

Ich kann nicht mehr... Ich sitze schon seit drei Stunden an dieser Aufgabe und habe nichts.... (na.. bis auf paar neue Erkenntnisse dank Euch, dafür danke!!!)
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Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Di 29.08.2006
Autor: Herby

ok,

dann versuche ich mal die Ableitung:

wir haben

[mm] u=5x^2-6x+13 [/mm]

$ u'=10x-6 $


[mm] v=(x^2+4x-5)^2 [/mm]

[mm] v'=2\cdot{}(x^2+4x-5)\cdot{}(2x\cdot{}4) [/mm]


MBQuotientenregel = [mm] f(x)=\bruch{u(x)}{v(x)}\Rightarrow f'(x)=\bruch{u'v - v'u}{v²} [/mm]


das ergibt zusammengemixt:

[mm] f''(x)=\bruch{(10x-6)*((x^2+4x-5)^2) - (2\cdot{}(x^2+4x-5)\cdot{}(2x\cdot{}4))*(5x^2-6x+13)}{((x^2+4x-5)^2)²} [/mm]



bei solchen Brüchen kann man dann immer noch einmal die Nullstellen des Nenners im Zähler kürzen, so dass sich der Bruch wie folgt darstellt:


[mm] f''(x)=\bruch{-10x^3+18x²-78x-74}{((x-1)*(x-5))^3} [/mm]



fertisch


Liebe Grüße
Herby


rechne das in Ruhe irgendwann nochmal nach, denn nach drei Stunden bringt das nicht mehr viel ( [meinemeinung] ) - wie wäre es mit ein bisschen Englisch oder Bio oder so?
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Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:36 Di 29.08.2006
Autor: scrax

rechne das in Ruhe irgendwann nochmal nach, denn nach drei Stunden bringt das nicht mehr viel ( [meinemeinung] ) - wie wäre es mit ein bisschen Englisch oder Bio oder so?

lol, das ist wohl die beste Lösung die ich heute serviert bekommen habe, sorry dass ich so aufdringlich bin, aber ich brauche unbedingt eine gute Note in Mathe.
So..., dann vielen Dank für die Hilfe (nur nicht wundern wenn ich morgen wieder da bin, denn die Aufgabe ist ja noch nicht beendet :-)) einen schönen Abend noch (ich mach jetzt Französisch)

Gruß Katharina
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Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke: auuuuaahhhh
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:25 Di 29.08.2006
Autor: Herby

ups

hab grad gesehen, das war ja das gleiche wie du hattest - [bonk]


vielleicht sollte ich noch ein bisschen Englisch oder Bio, nein Java und Assembler, wäre nicht schlecht......



und tschüss

lg
Herby
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Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Di 29.08.2006
Autor: scrax

????? Aber das war doch was anderes (oder???)

du hattest: [mm] -10x^3+18x^2-78x+74 [/mm] / [mm] (x^2-6x+5)^3 [/mm]

ich hatte:    [mm] -10x^3+18x^2-78x-74 [/mm] / [mm] (x^2+4x-5)^3 [/mm]

etwas anders ist es schon.... (vor allem der Nenner!)


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Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Di 29.08.2006
Autor: Herby

dann doch nochmal...


> ????? Aber das war doch was anderes (oder???)

fast...

>  
> du hattest: [mm]-10x^3+18x^2-78x+74[/mm] / [mm](x^2-6x+5)^3[/mm]

ok ok, das mit dem "Minus" geb ich zu, hab ich aber gleich noch verbessert [grummel] - aber der Nenner stimmt so nicht, denn [mm] ((x-1)*(x+5))^3=(x^2+4x-5)^3 [/mm]  - - - auch bei mir - - - - -
  
> ich hatte:    [mm]-10x^3+18x^2-78x-74[/mm] / [mm](x^2+4x-5)^3[/mm]
>  
> etwas anders ist es schon.... (vor allem der Nenner!)

Französisch ist auch schön -

Liebe Grüße
Herby  

so, nun muss ich aber auch [mussweg]

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:00 Di 29.08.2006
Autor: scrax

JUHUUUUU!!!!! ich hatte endlich mal was richtig

was deinen kleinen Fehler angeht:

ok ok, das mit dem "Minus" geb ich zu, hab ich aber gleich noch verbessert [grummel]

MACHT NIX, du sitzt ja auch schon seit 3 Stunden mit mir an der Aufgabe :-))
(und sorry dass ich deinen Nenner falsch ausgerechnet habe)

BYE
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Gebrochenrat. Funkt. mit Lücke: Erläuterung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 Di 29.08.2006
Autor: Herby

Hallo nochmal,

> Ahhh!!! Man muss die 2 die man für die Lücke in das
> Horner-Schema einsetzen. Ich dachte man muß IRGENDEINE
> Nulltelle finden und davon die Ersatzfunktion bilden.

nein, bei den gebrochen rationalen Funktionen ist es meist so (zumindest bei den schulischen), dass sich Pole (die Nullstellen des Nenners) durch Kürzen beheben lassen - sofern es auch Nullstellen des Zählers sind.

Dadurch erweitert sich der Definitionsbereich der Funktion: so wie bei deiner Funktion um den Wert 2.


Verständlich? Wenn nicht, dann frag weiter nach :-)


Liebe Grüße
Herby
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