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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Elixia |
Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen?
Sei pn die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse von n Kindern wenigstens zwei am gelichen Tag Geburtstag haben. (Vereinfachend sei dabei angenommen, dass kein Kind am 29.Februar geboren ist und alle anderen Geburtstage gleich wahrscheinlich sind.) Man zeige (unter Verwendung der Abschätzung 1-x =< [mm] e^{-x} [/mm] )
pn [mm] \ge [/mm] 1 - exp( - n(n-1)/2.365).
Man bestimme ein möglichst kleines n mit pn [mm] \ge [/mm] 1/2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Elixia!
Überlege dir erst einmal, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass von $n$ Kindern alle an verschiedenen Tagen Geburtstagen haben.
Für das erste Kind bleiben alle $365$ Tage. Das zweite Kind darf dann an allen Tagen Geburtstag haben, außer an dem, wo das erste Kind schon Geburtstag hatte, also an $364$ Tagen. Das dritte Kind darf an allen Tagen Geburtstag haben, außen an den beiden, wo die ersten beiden Kinder schon Geburtstag hatten, also an $363$ Tagen etc.
Daher ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle $n$ Kindern an verschiedenen Tagen Geburtstag haben, gerade
[mm] $\frac{365\cdot 364 \cdot 363 \cdot \ldots \cdot (365-n+1)}{365^n} [/mm] = [mm] \frac{\prod\limits_{i=0}^{n-1} (365-i)}{365^n} [/mm] = [mm] \prod\limits_{i=0}^{n-1} \frac{365-i}{365} [/mm] = [mm] \prod\limits_{i=0}^{n-1} \left( 1 - \frac{i}{365} \right)$.
[/mm]
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass von $n$ Kindern mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben (die ist gerade das Gegenereignis des obigen Ereignisses):
[mm] $p_n [/mm] = 1 - [mm] \prod\limits_{i=0}^{n-1} \left( 1- \frac{i}{365} \right)$.
[/mm]
So, jetzt musst du nur noch die Abschätzung mit der Exponentialfunktion bei jedem Faktor vollziehen, dann beachten, dass das Produkt von exponentiellen Ausdrücken gerade das Exponential der Summe ist (also die Funktionalgleichung [mm] $\exp(a [/mm] +b) = [mm] \exp(a) \cdot \exp(b)$ [/mm] ausnutzen) und dann noch die Formel für die Summe der ersten $n-1$ natürlichen Zahlen hinschreiben, dann bist du fertig. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:22 Di 02.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Elixia!
> Aus [mm]\bruch{365*364*363*...(365-n+1)}{365^{n}}[/mm] folgt
> [mm]\bruch{ \produkt_{i=0}^{n-1}(365-i+1)}{365^{n}}[/mm] und nicht
> [mm]\bruch{\produkt_{i=0}^{n-1}(365-i)}{365^{n}}.[/mm] Stimmt das?
Nein, meine Formel ist richtig. Setze doch mal $i=0, i=1, [mm] \ldots, [/mm] i=n-1$ ein.
> Weiter unten hast du noch folgendes geschrieben, dass ich
> nicht nachvollziehen kann.
>
> [mm]p_n[/mm] = 1 - [mm]\produkt_{i=10}^{n-1}(1[/mm] - [mm]\bruch{i}{365})
[/mm]
> Wie so ist das Produkt von 10 bis n-1?
Hier habe ich mich offenbar verschrieben (ich hatte nur keine Möglichkeit meine Antwort gestern noch einmal durchzulesen, da der Server ständig gestreikt hat). Ich habe es jetzt verbessert.
Versuche es jetzt bitte noch einmal, mit meiner obigen Formel (und nicht mit deiner falschen).
Liebe Grüße
Stefan
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