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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Do 01.09.2011 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | | Wie groß muss k mindestens sein, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Mehrfachgeburtstag bei k Personen (n=365) mindestens 0,9 ist? |
Mein Ansatz ist folgender:
[mm] P(X_n \le k_n) \ge [/mm] 0,9
[mm] 1-\produkt_{j=1}^{k-1}(1-\bruch{j}{n}) \ge [/mm] 0,9
[mm] \produkt_{j=1}^{k-1}(1-\bruch{j}{365}) \le [/mm] 0,1
Ist das richtig bis hier?
Wie löse ich das ganze dann nach k auf?
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> Wie groß muss k mindestens sein, damit die
> Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Mehrfachgeburtstag
> bei k Personen (n=365) mindestens 0,9 ist?
>
> Mein Ansatz ist folgender:
> [mm]P(X_n \le k_n) \ge[/mm] 0,9 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
da verstehe ich die Schreibweise nicht. Was sollen [mm] X_n [/mm] und
[mm] k_n [/mm] bedeuten ?
> [mm]1-\produkt_{j=1}^{k-1}(1-\bruch{j}{n}) \ge[/mm] 0,9
> [mm]\produkt_{j=1}^{k-1}(1-\bruch{j}{365}) \le[/mm] 0,1
>
> Ist das richtig bis hier?
Die zu lösende Ungleichung ist richtig.
> Wie löse ich das ganze dann nach k auf?
Man kann das Produkt mittels Fakultäten und Potenzen schreiben.
Einen exakten algebraischen Lösungsweg gibt es für die entste-
hende Gleichung zwar nicht, aber für Fakultäten gibt es eine
gute Näherungsformel (Stirlingsche Formel). Auch mit dieser
Näherung bleibt die zu lösende Ungleichung aber unhandlich,
und man greift vielleicht doch besser zu einer Art "Probierlösung"
durch schrittweise Berechnung des Produktes.
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Do 01.09.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
hier ist eine der Probierloesungen in R, von der Al sprach:
| 1: | R> j <-1:50;j[cumprod(1-j/365)<=0.1]
| | 2: | [1] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
| | 3: | R> prod(1-(1:40)/365)
| | 4: | [1] 0.09684839
| | 5: | R> prod(1-(1:39)/365)
| | 6: | [1] 0.1087682
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$k=40_$ loest als kleinste Zahl die Ungleichung.
vg Luis
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