Geburtstagsproblem < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Fr 04.01.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Aus einer umfangreichen Bevölkerung werden n=100 Personen zufällig ausgewählt (Auswahlsatz f<0,05). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Person am 24.12. Geburtstag hat, wenn angenommen werden kann, dass die Geburtstag in der Gesamtbevölkerung gleichmäßig über das Jahr verteilt sind? |
hi Leute!
Ich hab dann mal im Internet recherchiert und zu dieser Formel gefunden:
[mm] $P=1-\left(1-\frac{1}{m}\right)^n \Leftrightarrow 1-\left(1-\frac{1}{365}\right)^{100} [/mm] = 24 [mm] \%$
[/mm]
Meine Frage nun dazu: Die Formel ist nun schön und gut, aber wie würde ich da ohne Internet drauf kommen? Die Wahrscheinlichkeit genau am 24.12. Geburtstag zu haben liegt bei [mm] \frac{1}{365}. [/mm] Das ist klar. Aber nun weiter...
Nun hab ich mir aber selbst die Frage gestellt, wie ich nun für eine bestimmten Prozentsatz die benötige Anzahl an Menschen berechnen kann. Das müsste doch so funktionieren:
[mm] $0,75=1-\left(1-\frac{1}{m}\right)^n \Leftrightarrow [/mm] ... $
Hier hab ich aber nun das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich das ^n isoliere...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Fr 04.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Aus einer umfangreichen Bevölkerung werden n=100 Personen
> zufällig ausgewählt (Auswahlsatz f<0,05). Wie groß ist
> die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Person am
> 24.12. Geburtstag hat, wenn angenommen werden kann, dass
> die Geburtstag in der Gesamtbevölkerung gleichmäßig
> über das Jahr verteilt sind?
>
> hi Leute!
>
> Ich hab dann mal im Internet recherchiert und zu dieser
> Formel gefunden:
>
> [mm]P=1-\left(1-\frac{1}{m}\right)^n \Leftrightarrow 1-\left(1-\frac{1}{365}\right)^{100} = 24 \%[/mm]
>
> Meine Frage nun dazu: Die Formel ist nun schön und gut,
> aber wie würde ich da ohne Internet drauf kommen? Die
> Wahrscheinlichkeit genau am 24.12. Geburtstag zu haben
> liegt bei [mm]\frac{1}{365}.[/mm] Das ist klar. Aber nun weiter...
Die Anzahl $X$ der Personen, am 24.12. Geburtstag haben ist binomialverteilt mit $n=100$ und $p=1/365$. Gesucht ist [mm] $P(X\ge [/mm] 1)$ ...
>
> Nun hab ich mir aber selbst die Frage gestellt, wie ich nun
> für eine bestimmten Prozentsatz die benötige Anzahl an
> Menschen berechnen kann. Das müsste doch so
> funktionieren:
>
> [mm]0,75=1-\left(1-\frac{1}{m}\right)^n \Leftrightarrow ...[/mm]
>
> Hier hab ich aber nun das Problem, dass ich nicht weiß,
> wie ich das ^n isoliere...
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") $n$ ist doch gegeben.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Fr 04.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Wenn nun diese Aufgabe binomialverteilt sein soll, dann weiß ich aber nicht was hier noch falsch mache:
Für p verwende ich den in der Aufgabe angegebenen Auswahlsatz!
$B(x|p;n) = [mm] \binom{n}{x} \cdot p^n \cdot (1-p)^{n-x} [/mm] =$
[mm] \binom{100}{0} \cdot 0,05^0 \cdot (1-0,05)^{100-0} [/mm] + [mm] \binom{100}{1} \cdot 0,05^1 \cdot (1-0,05)^{100-1} [/mm] = [mm] 3,71\%$
[/mm]
> n ist doch gegeben.
In der gestellten Aufgabe schon. Ich habe mir aber eine "eigene Aufgabe" gestellt in dem ich bei einem gestellten Prozentsatz die benötigte Menge an Menschen berechnen will und dann ist das n eben nicht mehr gegeben. Und jetzt hab ich eben das Problem das n aus dem Exponenten zu isolieren!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Fr 04.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Wenn nun diese Aufgabe binomialverteilt sein soll, dann
> weiß ich aber nicht was hier noch falsch mache:
>
> Für p verwende ich den in der Aufgabe angegebenen
> Auswahlsatz!
> [mm]B(x|p;n) = \binom{n}{x} \cdot p^n \cdot (1-p)^{n-x} =[/mm]
>
> [mm]\binom{100}{0} \cdot 0,05^0 \cdot (1-0,05)^{100-0}[/mm] +
> [mm]\binom{100}{1} \cdot 0,05^1 \cdot (1-0,05)^{100-1}[/mm] =
> [mm]3,71\%$[/mm]
>
Ich interpretiere die Angabe des Auswahlsatzes als hinreichende Rechtfertigung dafuer, mit der Binomial- statt der hypergeometrischen Verteilung zu arbeiten. Danach ist zu berechnen:
[mm] $1-P(X=0)=1-\binom{100}{0}\left(\frac{1}{365}\right)^0\left(1-\frac{1}{365}\right)^{100}$
[/mm]
>
>
> > n ist doch gegeben.
>
> In der gestellten Aufgabe schon. Ich habe mir aber eine
> "eigene Aufgabe" gestellt in dem ich bei einem gestellten
> Prozentsatz die benötigte Menge an Menschen berechnen will
> und dann ist das n eben nicht mehr gegeben. Und jetzt hab
> ich eben das Problem das n aus dem Exponenten zu isolieren!
Bitte nichts vermengen.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Fr 04.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ich verstehe an deiner gegebenen Lösung drei Dinge nicht:
1.) Woher soll man wissen, dass man die Komplementärmenge, also 1-P(..) braucht
2.) Wieso muss ich in der Binomialverteilung das x auf 0 setzen obwohl doch in der Aufgabe von "einer Person" die Rede ist?
3.) Du sprichst von Hypergeometrischen Verteilung. Braucht man den Auswahlsatz wenn man die Hypergeometrische Verteilung anwendet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Fr 04.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Ich verstehe an deiner gegebenen Lösung drei Dinge nicht:
>
> 1.) Woher soll man wissen, dass man die Komplementärmenge,
> also 1-P(..) braucht
Ich berechne lieber $P(X=0)$ als [mm] $P(X=1)+P(X=2)+\dots+P(X=100)$.
[/mm]
>
> 2.) Wieso muss ich in der Binomialverteilung das x auf 0
> setzen obwohl doch in der Aufgabe von "einer Person" die
> Rede ist?
In der Aufgabe ist von "mindestens einer Person" die Rede.
>
> 3.) Du sprichst von Hypergeometrischen Verteilung. Braucht
> man den Auswahlsatz wenn man die Hypergeometrische
> Verteilung anwendet?
Nein, an und fuer sich sich ist $X$ hypergeometrisch verteilt. Aber da der Auswahlssatz hinreichend klein ist, darf ich in guter Naeherung mit der Binomialverteilung arbeiten.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Fr 04.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Nein, an und fuer sich sich ist hypergeometrisch verteilt. Aber da der
> Auswahlssatz hinreichend klein ist, darf ich in guter Naeherung mit der >Binomialverteilung arbeiten.
Könnte man diese Aufgabe also auch mit der hypergeometrischen Verteilung berechnen? Ich hab mir grad mal die hypergeometrische Verteilung angesehen und festgestellt, dass dafür noch einige Angaben fehlen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Fr 04.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Könnte man diese Aufgabe also auch mit der
> hypergeometrischen Verteilung berechnen?
Nein.
> Ich hab mir grad
> mal die hypergeometrische Verteilung angesehen und
> festgestellt, dass dafür noch einige Angaben fehlen...
Eben.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Fr 04.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wenn ich nun die Binomialverteilung so anwende, dann ergeben sich noch weitere Fragen:
$1-P(X=0) = 1-\binom{100}{0} \cdot \left(\frac{1}{365}\right)^0 \cdot \left({1-\frac{1}{365}\right)^{100-0} = 1-1\cdot 1\cdot 0,76 = 24\%$
Die Fragen:
Es ist von "einer Person" die Rede. Warum bekomme ich bei x=0 (also eigentlich ja "keine Person") das richtige Ergebnis raus? Warum ist dieser Auswahlsatz überhaupt gegeben, wenn man ihn gar nicht braucht und mit \frac{1}{365} auf das richtige Ergebnis komme? Woher weiß ich, dass ich hier nun noch das Komplement berechnen muss? Wie sieht ein korrekter Ausgangsansatz aus?
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Hallo,
> Wenn ich nun die Binomialverteilung so anwende, dann
> ergeben sich noch weitere Fragen:
>
> [mm]1-P(X=0) = 1-\binom{100}{0} \cdot \left(\frac{1}{365}\right)^0 \cdot \left({1-\frac{1}{365}\right)^{100-0} = 1-1\cdot 1\cdot 0,76 = 24\%[/mm]
>
> Die Fragen:
>
> Es ist von "einer Person" die Rede. Warum bekomme ich bei
> x=0 (also eigentlich ja "keine Person") das richtige
> Ergebnis raus?
Na, [mm]X[/mm] beschreibt die Anzahl der Personen, die am 24.12. Geburtstag haben.
Und gesucht ist die Wsk., dass mindestens eine Person am 24.12. Geb. hat.
Also gesucht: [mm]P(X\ge 1)[/mm] (eine Person oder mehrere)
Und das berechnet man über das Gegenereignis: [mm]P(A)=1-P(\overline A)[/mm]
Also [mm]P(X\ge 1)=1-P(X\red < 1)=1-P(X=\blue{0})[/mm]
Das Gegenteil von "mindestens eine Person" ist "weniger als eine Person" ($X<1$)
Und weniger als eine Person bedeutet doch keine Person ... ($X=0$)
Und die blaue 0 ist genau die, die in der Formel beim Ausrechnen dann auftaucht ...
> Warum ist dieser Auswahlsatz überhaupt
> gegeben, wenn man ihn gar nicht braucht und mit
> [mm]\frac{1}{365}[/mm] auf das richtige Ergebnis komme? Woher weiß
> ich, dass ich hier nun noch das Komplement berechnen muss?
> Wie sieht ein korrekter Ausgangsansatz aus?
Gruß
schachuzipus
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