Geburtstagsproblem < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Fr 11.01.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | in einem Hörsaal befinden sich n Studenten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) mindestens zwei am selben Tag,
b) genau zwei am selben Tag und alle anderen an verschiedenen Tagen
Geburtstag haben, wenn Schaltjahre nicht berücksichtigt werden? |
Die Lösung der Aufgabe a) hab ich wohl schon raus:
a) $P(A) = 1- [mm] P(\overline{A}) [/mm] = 1- [mm] \frac{\frac{365!}{(365-n)!}}{365^n}$
[/mm]
Bei b) tappe ich aber noch im Dunkeln! Könnte es aber so gehen? $P(B) = 1- [mm] P(\overline{B}) [/mm] = 1- [mm] \frac{\frac{365!}{(365-(n-2))!}}{365^(n-2)}$
[/mm]
Dieses "-2" soll quasi "alle außer diese zwei Menschen" bedeuten und eben auch wieder über das Gegenereignis gerechnet.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Sa 12.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Kann mir bei dieser Frage wirklich niemand weiterhelfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Sa 12.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
Zur Herleitung des Geburtstagsparadoxons schau mal unter:
http://homepages.thm.de/~akrb32/prog/GebparadoxonE.pdf
http://www2.informatik.hu-berlin.de/~koessler/Proseminar/Proseminar2011/Geburtstagsparadoxon.pdf
http://blog.florian-severin.de/2009/05/das-geburtstagsparadoxon/
Dort hast du eine Menge Herleitungen dazu.
In folgenden sei P(n) die Wahrscheinlichkeit, dass von n Personen zwei am selben Tag Geburtstag haben.
Bei Aufgabe b) kannst du bei n Studenten ja das Ergebnis aus Aufgabe a) nutzen.
2 Personen haben am selben Tag Geburtstag, also bleiben noch n-2 Studenten, die nicht gemeinsam Geburtstag haben sollen, Berechne also:
[mm] p_{Aufgabe b}=P(n)\cdot(1-P(n-2))
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Sa 12.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Aus dem ersten Link hab ich mir nun diese Formel hergeleitet:
$P(A) = [mm] \frac{|A|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365}}{365^n} [/mm] = [mm] \frac{364}{365^{n+1}} [/mm] = $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Sa 12.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Aus dem ersten Link hab ich mir nun diese Formel
> hergeleitet:
>
> [mm]P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365}}{365^n} = \frac{364}{365^{n+1}} =[/mm]
>
>
Wenn du genau gelesen hättest, was ich mir nicht vorstellen kann, in sieben Minuten nach meiner Antwort, hättest du gesehen, dass die Formel doch schon da steht, inclusive Herleitung.
Die Wahrscheinlichkeit Q, dass alle n Personen [mm] ($2\leq n\leq365$) [/mm] beträgt:
[mm] Q=\frac{365!}{(365-n)!\cdot365^{n}}
[/mm]
(Überlege auch mal, warum die Einschränkung an das n gefordert ist!)
Also ist 1-Q die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben, auch diese Formel steht dort.
Nun bist du wieder dran, die Tipps aus meiner ersten Antwort umzusetzen.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Sa 12.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ah, jetzt verstehe ich:
Mit der Formel $Q = [mm] \frac{365!}{(365-n)!\cdot365^{n}} [/mm] $ und dem Intervall $ [mm] 2\leq n\leq365 [/mm] $ berechne ich die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 bis 365 Personen an verschiedenen Tagen Geburtstag haben.
Somit errechnet sich mit dieser Formel und n=2 )aber durch das Komplementärereignis) $P(B) = [mm] 1-\frac{365!}{(365-n)!\cdot365^{n}}$ [/mm] die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben.
Stimmt das soweit?
Edit: Jetzt merk ich gerade, dass diese Formel am Schluss hier, ja genau wieder das gleiche ist wie die Formel für die Aufgab a). Ich glaub jetzt bin ich total von der Rolle...
Edit2: Ich sollte mir ja auch noch Gedanken dazu machen warum gerade $2 [mm] \leq [/mm] n$ sein muss. Naja wenn man weniger wie 2 Personen hat, dann können die ja auch nicht am gleichen Tag Geburtstag haben 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Sa 12.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ah, jetzt verstehe ich:
>
> Mit der Formel [mm]Q = \frac{365!}{(365-n)!\cdot365^{n}}[/mm] und
> dem Intervall [mm]2\leq n\leq365[/mm] berechne ich die
> Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 bis 365 Personen an
> verschiedenen Tagen Geburtstag haben.
Nein, $Q(n) = [mm] \frac{365!}{(365-n)!\cdot365^{n}}$ [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, dass n Personen an verschiedenen Tagen Geburtstag haben.
>
> Somit errechnet sich mit dieser Formel und n=2 )aber durch
> das Komplementärereignis) [mm]P(B) = 1-\frac{365!}{(365-n)!\cdot365^{n}}[/mm]
Nein 1-Q ist die Wahrscheinlichkeit, dass von n Personen mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben, denn das ist das Gegenereignis zu Q(n)
> die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Personen am
> gleichen Tag Geburtstag haben.
Siehe oben.
>
> Stimmt das soweit?
>
> Edit: Jetzt merk ich gerade, dass diese Formel am Schluss
> hier, ja genau wieder das gleiche ist wie die Formel für
> die Aufgab a). Ich glaub jetzt bin ich total von der
> Rolle...
Lies meine erste Antwort nochmal ganz genau. Was ist denn dann P(n-2), was in Teil b) gefordert ist.
>
> Edit2: Ich sollte mir ja auch noch Gedanken dazu machen
> warum gerade [mm]2 \leq n[/mm] sein muss. Naja wenn man weniger wie
> 2 Personen hat, dann können die ja auch nicht am gleichen
> Tag Geburtstag haben
Eben. Und warum ist gefordert, dass n<365?
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Sa 12.01.2013 | | Autor: | bandchef |
$ [mm] p_{Aufgabe b}=P(n)\cdot(1-P(n-2)) [/mm] = [mm] \frac{365!}{(365-n)!\cdot 365^n} \cdot \frac{365!}{(365-(n-2))!\cdot 365^{n-2}} [/mm] = $
So ich hoffe, dass es jetzt passt...
|
|
|
| |
|
Hallo bandchef,
nach der bisherigen Herleitung stimmt Deine Formel natürlich nicht.
> [mm]p_{Aufgabe b}=P(n)\cdot(1-P(n-2)) = \frac{365!}{(365-n)!\cdot 365^n} \cdot \frac{365!}{(365-(n-2))!\cdot 365^{n-2}} =[/mm]
>
> So ich hoffe, dass es jetzt passt...
Es müsste doch heißen [mm] p_b=P(n)*(1-P(n-2))=\left(1-\bruch{365!}{(365-n)!365^n}\right)*\bruch{365!}{(365-(n-2))!*365^{n-2}}
[/mm]
Aber wir können ja mal versuchen, das anders herzuleiten.
Wir haben n Personen. Sie heißen Alfons, Berta, Christine, Dorothea, Emil, Friedrich, Gerlinde... Das soll andeuten, dass die Personen unterscheidbar sind (wie das bei Personen ja häufiger vorkommt  ).
Zwei davon sollen nun am selben Tag Geburtstag haben. Erstens: welche zwei? Dafür gibt es [mm] \vektor{n\\2} [/mm] Möglichkeiten. Bei diesem Paar nehmen wir nun den einen Geburtstag als gesetzt, die andere Person hat mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] \tfrac{1}{365} [/mm] am gleichen Tag Geburtstag.
Alle übrigen haben dann an verschiedenen Tagen Geburtstag.
Insgesamt also:
[mm] p_b=\vektor{n\\2}*\bruch{1}{365}*\produkt_{k=1}^{n-2}\bruch{365-k}{365}=\bruch{n*(n-1)*364!}{2*(364-(n-2))!*365^{n-1}}
[/mm]
Nun ist diese Form nicht so leicht mit der oben schon vorliegenden zu vergleichen, aber vielleicht ist es eine gute Übung, das mal für n=5 und n=8 stichprobenartig zu probieren - dann kommst Du wahrscheinlich auch darauf, wie es für allgemeines n geht.
Das habe ich jetzt selbst noch nicht getan, aber mir schwant, dass die Ergebnisse nicht identisch sind.
Dann wäre mindestens eines der beiden falsch.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 So 13.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ich will ja deine Lösung nicht anzweifeln, aber müsste es dann nicht so heißen:
$ [mm] p_{b}=P(n)\cdot(1-P(n-2)) [/mm] = [mm] \frac{365!}{(365-n)!\cdot 365^n} \cdot \left( 1-\frac{365!}{(365-(n-2))!\cdot 365^{n-2}}\right)$
[/mm]
Über diese andere Herleitung mach ich mir jetzt noch Gedanken. Ich meld mich dann wieder. Ah übrigens: Wenn dir schwant, dass da nicht das gleich rauskommen wird, in welcher Formel vermutest du dann den Fehler?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ich will ja deine Lösung nicht anzweifeln, aber müsste es
> dann nicht so heißen:
>
> [mm]p_{b}=P(n)\cdot(1-P(n-2)) = \frac{365!}{(365-n)!\cdot 365^n} \cdot \left( 1-\frac{365!}{(365-(n-2))!\cdot 365^{n-2}}\right)[/mm]
Nein. Lies doch den Thread nochmal von Anfang an durch.
P(n) war doch hergeleitet als 1-Q(n).
> Über diese andere Herleitung mach ich mir jetzt noch
> Gedanken. Ich meld mich dann wieder. Ah übrigens: Wenn dir
> schwant, dass da nicht das gleich rauskommen wird, in
> welcher Formel vermutest du dann den Fehler?
Das ist einfach: in meiner natürlich.
Die andere Antwort ist - wenn auch "nur" im Internet - schon eine Weile publiziert. Wäre sie falsch, so stünde zu erwarten, dass sie jemand qualifiziert kritisiert hätte und die Publikation dann zurückgezogen oder eben korrigiert worden wäre.
Trotzdem sehe ich nicht, was an meiner Antwort falsch sein sollte, habe aber gerade auch keine Zeit, die Identität zu überprüfen. Es ist halt ein bisschen Rechenaufwand, vorwiegend aber Schreibarbeit.
Grüße
reverend
|
|
|
|
