Geg. Formel für Det. beweisen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Jolly |
| Aufgabe | Sei [mm] n \ge 1 [/mm] und sei [mm] A_n = (a_{ij}) \in M_n(\IQ) [/mm] die Matrix, die durch [mm] a_{ij} = 1 - \delta_{ij} [/mm] definiert ist, wobei [mm] \delta_{ij}=\begin{cases} 0, & \text{falls }i\not=j\\ 1, & \text{falls }i=j \end{cases} [/mm]
Beweise:
[mm] det(A_n) = (-1)^{n-1} * (n-1) [/mm] |
Die Matrix sieht also wie folgt aus:
[mm] A_n = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \dots & \dots & \dots & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & 0 & 1 \\
1 & 1 & \cdots & 1 & 0 \\
\end{pmatrix} [/mm]
So, meine Idee war, nachdem ich das für [mm] n = {1, ... , 4} [/mm] ausprobiert hab (Formel stimmt wirklich ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") ), eine Induktion durchzuführen. (Im Induktionsschritt entwickel ich nach der ersten Zeile. [mm] det(A_{ij}) [/mm] ist bei uns die Minorante, also die Matrix, die übrig bleibt, wenn man die i-te Zeile und die j-te Spalte "streicht")
I.A.: [mm] n = 1:
det(A_1) = \left| 0 \right| = 0 = (-1)^{1-1} * (1-1) [/mm] (![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") )
I.S.: [mm] n \to n+1: [/mm]
[mm] \begin{matrix}
det(A_{n+1})&=&\summe_{j=1}^{n+1} (-1)^{1+j} * a_{1j} * det (A_{1j}) \\
\ & =& \summe_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} * a_{1j} * det (A_{1j}) + (-1)^{n+2} * det (A_{1,n+1}) \\
\ & =& \summe_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} * a_{1j} * det (A_{1j}) + (-1)^n * det (A_{1,n+1}) \\
\ & \stackrel{\mathrm{(I.A.)}}=& (-1)^{n-1} * (n-1) + (-1)^n * det(A_{1,n+1})
\end{matrix} [/mm]
So, ab jetzt dreh ich mich nur noch im Kreis. Ich hab zwar noch ein bisschen hier umgeformt und ein bisschen dort umgeformt, aber wirklich was gebracht hats nichts.
Ich weiß ja, dass ich auf die folgende Formel kommen will:
[mm] det(A_{n+1}) = (-1)^{n+1-1} * (n+1-1) = (-1)^n * n [/mm]
Im Prinzip muss also der Term
[mm] (-1)^{n-1} * (n-1) [/mm] "verschwinden" (also "0" werden) und
[mm] det(A_{1,n+1}) [/mm] muss "1" werden.
Ich seh nur nicht, wie das klappen soll...
Viele Grüße, Jolly
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Sa 12.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]n \ge 1[/mm] und sei [mm]A_n = (a_{ij}) \in M_n(\IQ)[/mm] die Matrix,
> die durch [mm]a_{ij} = 1 - \delta_{ij}[/mm] definiert ist, wobei
> [mm]\delta_{ij}=\begin{cases} 0, & \text{falls }i\not=j\\ 1, & \text{falls }i=j \end{cases}[/mm]
>
> Beweise:
>
> [mm]det(A_n) = (-1)^{n-1} * (n-1)[/mm]
> Die Matrix sieht also wie
> folgt aus:
>
> [mm]A_n = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \dots & \dots & \dots & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & 0 & 1 \\
1 & 1 & \cdots & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> So, meine Idee war, nachdem ich das für [mm]n = {1, ... , 4}[/mm]
> ausprobiert hab (Formel stimmt wirklich ), eine
> Induktion durchzuführen. (Im Induktionsschritt entwickel
> ich nach der ersten Zeile. [mm]det(A_{ij})[/mm] ist bei uns die
> Minorante, also die Matrix, die übrig bleibt, wenn man die
> i-te Zeile und die j-te Spalte "streicht")
>
> I.A.: [mm]n = 1:
det(A_1) = \left| 0 \right| = 0 = (-1)^{1-1} * (1-1)[/mm]
> ()
>
> I.S.: [mm]n \to n+1:[/mm]
> [mm]\begin{matrix}
det(A_{n+1})&=&\summe_{j=1}^{n+1} (-1)^{1+j} * a_{1j} * det (A_{1j}) \\
\ & =& \summe_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} * a_{1j} * det (A_{1j}) + (-1)^{n+2} * det (A_{1,n+1}) \\
\ & =& \summe_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} * a_{1j} * det (A_{1j}) + (-1)^n * det (A_{1,n+1}) \\
\ & \stackrel{\mathrm{(I.A.)}}=& (-1)^{n-1} * (n-1) + (-1)^n * det(A_{1,n+1})
\end{matrix}[/mm]
Hallo,
warum entwickelst du die neue Determinante mit [mm] a_{1j}? [/mm] Wäre es nicht günstiger, [mm] a_{(n+1)j} [/mm] zu verwenden?
Viele Grüße
Abakus
>
> So, ab jetzt dreh ich mich nur noch im Kreis. Ich hab zwar
> noch ein bisschen hier umgeformt und ein bisschen dort
> umgeformt, aber wirklich was gebracht hats nichts.
>
> Ich weiß ja, dass ich auf die folgende Formel kommen will:
>
> [mm]det(A_{n+1}) = (-1)^{n+1-1} * (n+1-1) = (-1)^n * n[/mm]
>
> Im Prinzip muss also der Term
> [mm](-1)^{n-1} * (n-1)[/mm] "verschwinden" (also "0" werden) und
> [mm]det(A_{1,n+1})[/mm] muss "1" werden.
>
> Ich seh nur nicht, wie das klappen soll...
>
> Viele Grüße, Jolly
>
> P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:56 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Jolly |
"[mm] det(A_{n+1})=\summe_{j=1}^{n+1} (-1)^{1+j} \cdot{} a_{1j} \cdot{} det (A_{1j}) [/mm]"
Meinst du dieses [mm] a_{1j} [/mm]?
Das ist bei uns die Formel für die Entwicklung nach der 1. Zeile.
Die allgemeine Formel lautet:
[mm] det(A) = \summe_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot{} a_{ij} \cdot{} det (A_{ij}) [/mm]
und da ich nach der ersten Zeile entwickeln wollte, habe ich i=1 eingesetzt. Schlechte Idee?
Oder meinst du mit deiner Frage, dass es besser wäre, nach der (n+1)-ten Zeile zu entwickeln, da beim Streichen dieser Zeile die "normale" Matrix übrig bleibt, die ich ja schon kenne?
Aber darf ich dann den Induktions-Anfang einsetzen? Weil ich über
[mm] \summe_{j=1}^{n} (-1)^{n+1+j} \cdot{} a_{n+1,j} \cdot{} det (A_{n+1,j}) [/mm]
doch eigentlich nichts weiß, oder steht ich mal wieder auf dem Schlauch?
Wobei das schon gar nicht mal so schlecht wäre, weil ich dann ja mit [mm] a_{n+1,n+1} [/mm] multiplizieren müsste, und das ist ja Null. Der letzte Term würde also wegfallen. Ich glaube, das fände ich nicht übel...
Danke schonmal und viele Grüße, Jolly
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mo 14.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hi,
du kannst auch die untereste Zeile von allen anderen abziehen und dann jede Spalte zu der letzen addieren. Dann erhälst du eine Dreiecksmatrix und kannst du Determinante direkt ablesen.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Jolly |
> Hi,
>
> du kannst auch die untereste Zeile von allen anderen
> abziehen
Dann hab ich [mm] A_n = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
0 & -1 & 0 & \cdots & 1 \\
\vdots & \dots & \dots & \dots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & -1 & 1 \\
1 & 1 & \cdots & 1 & 0 \\
\end{pmatrix} [/mm]
> und dann jede Spalte zu der letzen addieren. Dann
> erhälst du eine Dreiecksmatrix und kannst du Determinante
> direkt ablesen.
>
> Gruß Patrick
Du meinst eine unter Dreiecksmatrix, oder?
Das deprimiert mich jetzt, dass das so einfach ist. :o(
Mit der Entwicklung müsste es aber doch auch gehen, oder?
Aber trotzdem vielen Dank für die Antwort! 
Gruß, Jolly
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> > Hi,
> >
> > du kannst auch die untereste Zeile von allen anderen
> > abziehen
>
> Dann hab ich [mm]A_n = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
0 & -1 & 0 & \cdots & 1 \\
\vdots & \dots & \dots & \dots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & -1 & 1 \\
1 & 1 & \cdots & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> > und dann jede Spalte zu der letzen addieren. Dann
> > erhälst du eine Dreiecksmatrix und kannst du Determinante
> > direkt ablesen.
> >
> > Gruß Patrick
>
> Du meinst eine unter Dreiecksmatrix, oder?
>
Ja, denn wenn du jetzt noch jede Spalte zu der letzten addierst erhälst du ja:
[mm]A_n = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \dots & \dots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & -1 & 0 \\
1 & 1 & \cdots & 1 & n \\
\end{pmatrix}[/mm]
> Das deprimiert mich jetzt, dass das so einfach ist. :o(
> Mit der Entwicklung müsste es aber doch auch gehen, oder?
>
Ich denke schon, aber dabei kann ich dir leider auch nicht weiterhelfen.
> Aber trotzdem vielen Dank für die Antwort!
>
> Gruß, Jolly
Bitte,
lg Patrick
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