Gegenbeispiel für ein W-maß < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, vielleicht kann mir jmd. bei der Suche nach einem gegenbsp helfen, für das gilt:
man finde und belege anhand eines Gegenbsp.s ( im endl. Wahrscheinlichkeitsraum), dass i.a. ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einer [mm] \sigma-Algebra [/mm] A nicht eindeutig durc seine Werte auf einem Mengensystem, das A erzeugt, bestmmt ist.
Bin für Anregungen und Hilfe dankbar
der milchreis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich musste ganz schön "basteln", um ein solches Gegenbeispiel zu finden. Wichtig ist, dass das Erzeugnis nicht durchschnittsstabil ist, sonst kann man nach dem Eindeutigkeitssatz von Caratheodory zu keinem Gegenbeispiel finden.
Also, hier ein mögliches Gegenbeispiel:
[mm] $\Omega=\{1,2,3,4\}$
[/mm]
[mm] ${\cal A}={\cal P}(\Omega)$,
[/mm]
[mm] ${\cal E} [/mm] = [mm] \{\{1,3\},\{2,3\},\{1,4\}\}$.
[/mm]
Offenbar wird [mm] ${\cal A}$ [/mm] von [mm] ${\cal E}$ [/mm] erzeugt.
Dann gibt es mindestens zwei verschiedene Maße [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] auf [mm] $(\Omega,{\cal A})$, [/mm] die auf [mm] ${\cal E}$ [/mm] übereinstimmen, mit
[mm] $P_1(\{1,3\}) [/mm] = [mm] \frac{1}{3} [/mm] = [mm] P_2(\{1,3\})$,
[/mm]
[mm] $P_1(\{2,3\}) [/mm] = [mm] \frac{1}{3} [/mm] = [mm] P_2(\{2,3\})$,
[/mm]
[mm] $P_1(\{1,4\}) [/mm] = [mm] \frac{2}{3} [/mm] = [mm] P_2(\{1,4\})$,
[/mm]
Findest du die beiden W-Maße (oder zwei mögliche von vielen!) jetzt selber?
Ist jetzt eigentlich nicht mehr schwierig...
Melde dich doch mal mit einem Vorschlag. 
Viele Grüße
Julius
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