Gegenereignis Wahrscheinlichk < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:57 Do 12.06.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Ein Würfel wird 20-mal geworfen. Gib das Gegenereignis zu folgendem Ereignis an und bestimme die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.
1. mehr als 3-mal Augenzahl 2
2. höchstens 8-mal Augenzahl 5 oder 6
3. weniger als 6-mal eine Augenzahl kleiner als 5
4. mindestens 10-mal eine Augenzahl größer als 1
5. mehr als 4-mal, aber weniger als 9-mal Augenzahl 2 oder 3
6. mindestens 11-mal und höchstens 14-mal keine 6 |
Moin!
Tschö, habe eine grundsätzliche Frage zu der obigen Aufgabe.
Wie bestimme ich das Gegenereignis?
I. Ich definiere mir die Zufallsgrößen
X: Anzahl der Treffer des Ereignisses
Y: Anzahl der Treffer des Gegenereignisses
II. Ich nehme die Zufallsgröße X oder auch die Zufallsgröße Y und rechne die Wahrscheinlichkeit aus (ggf. mithilfe weiterer Umformungen)
Der Lösungsweg der Musterlösung sieht aber z.T. anders aus!
Welcher Lösungsweg ist genauer an der Aufgabe? Sind die Lösungswege gleichwertig? Woran kann ich erkennen, ob ich eine oder zwei Zufallsgrößen aufstellen soll/kann?
zu 1. Ereignis: mehr als 3-mal Augenzahl 2 ; n=20
X: Anzahl der "2" p= 1/6
Y: Anzahl der "1 , 3 , 4 , 5 , 6" q= 5/6
Ereignis
P(X > 3) = P(Y [mm] \le [/mm] 3)
X: {4...20}
Y: {3...0}
Gegenereignis
P(X [mm] \le [/mm] 3) = P(Y > 3)
P(X [mm] \le [/mm] 3) = 0,567 p= 1/6
Musterlösung: p= 1/6 ; P(X [mm] \le [/mm] 3) = 0,567
zu 2. Ereignis: höchstens 8-mal Augenzahl 5 oder 6 ; n=20
X: Anzahl der "5 , 6" p= 1/3
Y: Anzahl der "1 , 2 , 3 , 4" q= 2/3
Ereignis
P(X [mm] \le [/mm] 8) = P(Y [mm] \ge [/mm] 12)
X: {0...8}
Y: {20...12}
Gegenereignis
P(X > 8) = P(Y < 12)
P(X > 8) = 1 - P(X [mm] \le [/mm] 8) = 0,191 p= 1/3
Musterlösung: p= 1/3 ; P(X > 8) = 1 - P(X [mm] \le [/mm] 8) = 0,191
zu 3. Ereignis: weniger als 6-mal eine Augenzahl kleiner als 5 ; n=20
X: Anzahl der "1 , 2 , 3 , 4" p= 2/3
Y: Anzahl der "5 , 6" q= 1/3
Ereignis
P(X < 6) = P(Y > 14)
X: {0...5}
Y: {20...15}
Gegenereignis
P(X [mm] \ge [/mm] 6) = P(Y [mm] \le [/mm] 14)
P(Y [mm] \le [/mm] 14) = 1,000 p= 1/3
Musterlösung: p= 1/3 ; P(X [mm] \le [/mm] 6) ---> P(Y [mm] \le [/mm] 14) = 1,000
zu 4. Ereignis: mindestens 10-mal eine Augenzahl größer als 1 ; n=20
X: Anzahl der "2 , 3 , 4 , 5 , 6" p= 5/6
Y: Anzahl der "1" q= 1/6
Ereignis
P(X [mm] \ge [/mm] 10) = P(Y [mm] \le [/mm] 10)
X: {10...20}
Y: {10...0}
Gegenereignis
P(X < 10) = P(Y > 10)
P(Y > 10) = 1- P(Y [mm] \le [/mm] 10) = 0,000 p= 1/6
Musterlösung: p= 1/6 ; P(X < 10) ---> P(Y [mm] \ge [/mm] 11) = 1 - P(Y [mm] \le [/mm] 10)= 0,000
zu 5. Ereignis: mehr als 4-mal, aber weniger als 9-mal Augenzahl 2 oder 3 ; n=20
X: Anzahl der "2 , 3" p= 1/3
Y: Anzahl der "1 , 4 , 5 , 6" q= 2/3
Ereignis
P(4 < X < 9) = P(12 [mm] \le [/mm] Y [mm] \le [/mm] 15)
X: {5 , 6 , 7 , 8} bzw. X > 4 und X < 9
Y: {15 , 14 , 13 , 12} bzw. Y [mm] \ge [/mm] 12 und Y [mm] \le [/mm] 15
Gegenereignis
P(X [mm] \le [/mm] 4) + P(X > 8) = P(Y < 12) + P(Y > 15)
P(X [mm] \le [/mm] 4) + P(X [mm] \ge [/mm] 9) = P(X [mm] \le [/mm] 4) + 1 - P(X [mm] \le [/mm] 8) = 0,343 p= 1/3
Musterlösung: p= 1/3 ; P(X [mm] \le [/mm] 4) + P(X [mm] \ge [/mm] 9) = ... = 0,343
zu 6. Ereignis: mindestens 11-mal und höchstens 14-mal keine 6 ; n=20
X: Anzahl der "1 , 2 , 3 , 4 ,5" p= 5/6
Y: Anzahl der "6" q= 1/6
Ereignis
P(11 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 14) = P(6 [mm] \le [/mm] Y [mm] \le [/mm] 9)
X: {11 , 12 , 13 , 14} bzw. X [mm] \ge [/mm] 11 und X [mm] \le [/mm] 14
Y: {9 , 8 , 7 , 6} bzw. Y [mm] \ge [/mm] 6 und Y [mm] \le [/mm] 9
Gegenereignis
P(X < 11) + P(X > 14) = P(Y > 9) + P(Y < 6)
1 - P(Y [mm] \le [/mm] 10) + P(Y [mm] \le [/mm] 5) = 0,898 p= 1/6
Musterlösung: p= 1/6 ; P(X < 11) + P(X > 14) = P(Y [mm] \ge [/mm] 11) + P(Y [mm] \le [/mm] 5) = 1 - P(Y [mm] \le [/mm] 10) + P(Y [mm] \le [/mm] 5) = 0,898
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Fr 13.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde das Gegenereignis erstmal "über das Wort" beschreiben.
> Ein Würfel wird 20-mal geworfen. Gib das Gegenereignis zu
> folgendem Ereignis an und bestimme die Wahrscheinlichkeit
> des Gegenereignisses.
>
> 1. mehr als 3-mal Augenzahl 2
Also hier: G: höchstens drei Mal die zwei
> 2. höchstens 8-mal Augenzahl 5 oder 6
G: Mindestens 9 mal die "5" oder "6"
> 3. weniger als 6-mal eine Augenzahl kleiner als 5
G: Mindestens 7 mal die "1", "2", "3" oder "4"
> 4. mindestens 10-mal eine Augenzahl größer als 1
Das Ereignis ist ja auch mit "höchstens 9-mal eine 1" beschreibbar, also ist das Gegenereignis:
Mindestens 10-mal eine 1
> 5. mehr als 4-mal, aber weniger als 9-mal Augenzahl 2 oder
> 3
E: 5- bis 8-mal 2 oder drei, also G: Weniger als 4 mal "2" oder "3" oder mehr als acht mal "2" oder "3".
> 6. mindestens 11-mal und höchstens 14-mal keine 6
G: 11-14-mal eine 6
Habt ihr die kumulierten Tabellen der Binomialverteilung schon kennengelernt?
Also die Tabellen, die die Wahrscheinlichkeiten der einfachen Binomialverteilung aufaddieren?
Sonst findest du das ganze ![[]](/images/popup.gif) hier
Kommst du damit erstmal weiter?
Marius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Fr 13.06.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
mit euren beiden Antworten habt ihr genau meine Fragestellung beschrieben.
Ich äußere (noch mal) ein paar krause Gedanken:
1. Wenn ich das Ereignis "2" betrachte, dann ist das Gegenereignis dazu "1, 3, 4, 5 ,6"
Mathebank: wenn die Zahl nicht ungerade ist, dann ist sie eben gerade...
2. Wenn ich "mehr als 3-mal Augenzahl 2" betrachte, dann wäre das Gegenteil "höchstens 3-mal Augenzahl 2"
[auf diesen zweiten Ansatz wäre bzw. bin ich nicht gekommen; weil ja das Gegenereignis eines "2"-Wurfes ein Nicht-"2"-Wurf ist]
Ist damit mein Knoten jetzt besser beschrieben?
Grüße aus Schleswig-Holstein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:04 So 15.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo hase-hh,
In Anlehnung an Deinen "ersten Lösungsweg" musst Du Dir erstmal wirklich klar werden über
> I. Ich definiere mir die Zufallsgrößen
> 1. Wenn ich das Ereignis "2" betrachte, dann ist das
> Gegenereignis dazu "1, 3, 4, 5 ,6"
Wenn man einen einzelnen Wurf betrachtet: Ja. Denn hier sind die möglichen (Elementar-)Ereignisse eben die sechs Ergebnisse, die bei einem Wurf auftreten können.
> 2. Wenn ich "mehr als 3-mal Augenzahl 2" betrachte, dann
> wäre das Gegenteil "höchstens 3-mal Augenzahl 2"
> [auf diesen zweiten Ansatz wäre bzw. bin ich nicht
> gekommen; weil ja das Gegenereignis eines "2"-Wurfes ein
> Nicht-"2"-Wurf ist]
Ja, eines Wurfes!
Mir scheint, Du verhedderst Dich ein wenig darin, dass hier sozusagen ein geschachteltes Zufallsexperiment vorliegt:
Jeder einzelne der zwanzig Würfe ist ein Zufallsexperiment mit dem Ereignisraum [mm] $\{1,2,3,4,5,6\} [/mm] $.
Aber darum geht es hier nur mittelbar. Gefragt ist ja hier nicht, ob in einem einzelnen Wurf eine zwei fällt, sondern wie oft die zwei bei zwanzig Würfen fällt.
Der Ereignisraum lautet also hier [mm] $\{0,1,2,\cdots,18,19,20\} [/mm] $.
Vielleicht hilft es beim Erdenken des Gegenereignisses, sich eine Wette vorzustellen:
Du hast gewonnen, wenn bei zwanzig Würfen mehr als dreimal die zwei fällt. Wann hast Du also verloren?
Schöne Grüße
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 So 15.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
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