Gemeinsame Eigenbasis < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Do 29.09.2016 | | Autor: | Paivren |
Hallo,
mal eine Frage zu zwei Hermiteschen Operatoren A und B, die auf einem Vektorraum wirken.
Es gilt ja:
[A,B]=0 [mm] \gdw [/mm] A und B haben eine gemeinsame Eigenbasis.
Eine Eigenbasis bedeutet ja, dass die Vektormenge eine Basis des Vektorraums ist und alle Basisvektoren Eigenvektoren sind.
Heißt das zwangsweise auch, dass jeder Eigenvektor von Operator A auch ein Eigenvektor von Operator B ist, wenn der Kommutator verschwindet?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:10 Fr 30.09.2016 | | Autor: | Paivren |
Ok, ich habe mir selbst die Antwort gegeben:
Nein! Im Falle eines entarteten Eigenwerts des einen Operators ist nicht jeder zugehörige Eigenvektor auch ein Eigenvektor des anderen.
Aber man kann zu diesem entarteten Eigenwert des einen Operators ein System von linear unabhängigen Eigenvektoren finden, bei dem jeder einzelne auch ein Eigenvektor des anderen Operators ist - dabei aber gut und gerne zu verschiedenen Eigenwerten.
Das heißt, es gibt tatsächlich nur "mindestens eine gemeinsame Eigenbasis", und die Menge der Eigenvektoren des einen Operators ist nicht zwangsweise gleich der Menge der Eigenvektoren des anderen Operators.
Korrigiert mich, wenn ich falsch liege :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:15 Fr 30.09.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> mal eine Frage zu zwei Hermiteschen Operatoren A und B, die
> auf einem Vektorraum wirken.
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> Es gilt ja:
> [A,B]=0 [mm]\gdw[/mm] A und B haben eine gemeinsame Eigenbasis.
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> Eine Eigenbasis bedeutet ja, dass die Vektormenge eine
> Basis des Vektorraums ist und alle Basisvektoren
> Eigenvektoren sind.
>
> Heißt das zwangsweise auch, dass jeder Eigenvektor von
> Operator A auch ein Eigenvektor von Operator B ist, wenn
> der Kommutator verschwindet?
Nan klar. Zauberwort:
"simultane Diagonalisierbarkeit"
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