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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Sa 17.03.2007 | | Autor: | MonaMoe |
| Aufgabe | Fuer jedes positive reelle t ist [mm] f_{t} [/mm] gegeben
[mm] f_{t}(x)= \bruch{1}{2}(2t-e^{x})^{2}
[/mm]
Fuer [mm] t_{1}\not=t_{2} [/mm] schneiden sich die Graphen in genau einem Punkt P.
Berechnen Sie die Koordinaten von P.
Welcher Zusammenhang muss zwischen [mm] t_{1} [/mm] und [mm] t_{2} [/mm] bestehen, damit P auf der y-Achse liegt? |
Hallo,
bei dieser Aufgabe habe ich einfach:
[mm] \bruch{1}{2}(2t_{1}-e^{x})^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(2t_{2}-e^{x})^{2} [/mm] gesetzt,doch wieder komme ich mitten drin nicht weiter.Ich bin auf die Loesung gekommen,dass [mm] x=ln(t_{1}-t_{2}) [/mm] ist, aber kann das richtig sein?
Ueber die zweite Frage hab ich noch nicht nachgedacht,weil man bestimmt erst den Punkt braucht,oder?
Vielleicht kann mir jemand helfen!?
Gruss
Mona
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Fulla |
Hi MonaMoe!
Deine Idee ist schon ganz richtig! Nur hast du leider einen kleinen Fehler gemacht:
[mm] $f_{t_1}(x)=f_{t_2}(x)\quad\gdw$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}\left(2t_1-e^x\right)^2=\bruch{1}{2}\left(2t_2-e^x\right)^2\quad\gdw$
[/mm]
[mm] 4t_1^2-4t_1e^x=4t_2^2-4t_2e^x\quad\gdw
[/mm]
[mm] t_1^2-t_2^2=e^x(t_1-t_2)\quad\gdw
[/mm]
[mm] (t_1-t_2)(t_1+t_2)=e^x(t_1-t_2)\quad\gdw
[/mm]
[mm] x=\ln(t_1+t_2)
[/mm]
Dieses x setzt du jetzt in [mm] f_{t_1}(x) [/mm] oder in [mm] f_{t_2}(x) [/mm] ein (es ist egal in welche, weil ja der gleiche Punkt rauskommt). Dann erhältst du beide Koordinaten von P.
Wenn P auf der y-Achse liegen soll, muss x=0 sein, also [mm] x=\ln(t_1+t_2)=0 [/mm] .
So bekommst du die gesuchte Beziehung zwischen [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] .
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Sa 17.03.2007 | | Autor: | MonaMoe |
Dankeschoen!
Doch ich komm nicht weiter,als ich x in die Ursprungsfunktion eingesetzt hab.Bin so stehen geblieben:
[mm] f(x)=2t^{2}-2te^{\ln(t_1+t_2)}+e^{\2ln(t_1+t_2)}
[/mm]
Wie komme ich hier weiter?
Lieber Gruss
Mona
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Fulla |
Hi nochmal!
Kleiner Tipp: [mm] e^{\ln(x)}=x
[/mm]
Und außerdem musst du das errechnete x in [mm] f_{t_1}(x) [/mm] einsetzen und nicht in [mm] f_t(x), [/mm] sonst hast du ja das "normale" $t$ mit drin... die Gleichung sollte am Ende nur noch [mm] t_1 [/mm] un [mm] t_2 [/mm] enthalten...
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 So 18.03.2007 | | Autor: | MonaMoe |
Hallo,
lautet meine Loesung dann so,wenn ich [mm] x=ln(t_{1}+t_{2}) [/mm] in [mm] f_{t_{1}}(x) [/mm] einsetze: [mm] f_{t_{1}}(ln(t_{1}+t_{2}))=2(-t_{1}t_{2}+t_{1}+t_{2}) [/mm] ???
Gruß
Mona
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 So 18.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MonaMoe!
Das stimmt nicht ganz ...
[mm] $f_{t_1}\left[\ln(t_1+t_2)\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[2*t_1-e^{\ln(t_1+t_2)}\right]^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[2*t_1-(t_1+t_2)\right]^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[2*t_1-t_1-t_2\right]^2 [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 So 18.03.2007 | | Autor: | MonaMoe |
Hallo,dankeschoen!
Dann ist meine Loesung: [mm] f_{t_1}(\ln(t_1+t_2)=\bruch{1}{2}(t_{1}-t_{2})^{2} [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 So 18.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MonaMoe!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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