Gemeinsamkeiten von Graphen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi, Milkyway,
> Gegeben ist die Funktion f mit Graph Kf durch f(x)=1/2 x
> (x-3)²; xER, während g eine ganzrationale Funktion vom Grad
> 2 ist, deren Graph Kg den Graphen Kf an der Stelle 0
> berührt und an der Stelle 3 schneidet. Bestimmen sie g(x).
> was versteht man bei dieser Aufgabe denn unter "Stelle" ?...
> zuerst dachte ich damit sei die x-Koordinate eines
> gemeinsamen Punktes gemeint, aber irgendwie komme ich
> trotzdem nicht auf den richtigen Weg.
Genau das ist es! Eine "Stelle" ist die x-Koordinate eines Punktes!
Wenn der Graph der Funktion g den Graphen der Funktion f bei x=0 "berührt", dann gilt:
f(0) = g(0)
und auch:
f'(0) = g'(0).
Wenn dann noch der Graph der Funktion g den Graphen der Funktion f bei x=3 "schneidet", dann gilt an dieser Stelle nur:
f(3) = g(3)
mfG!
Zwerglein
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Hi, Milkyway,
> Gegeben ist die Funktion f mit Graph Kf durch f(x)=1/2 x
> (x-3)²; xER, während g eine ganzrationale Funktion vom Grad
> 2 ist, deren Graph Kg den Graphen Kf an der Stelle 0
> berührt und an der Stelle 3 schneidet. Bestimmen sie g(x).
Fangen wir mit f(x) an:
f(x) = [mm] 1/2*x*(x-3)^{2} [/mm] = [mm] 1/2x^{3} [/mm] - [mm] 3x^{2} [/mm] +9/2x
f'(x) = [mm] 3/2x^{2} [/mm] - 6x + 9/2
f(0) = 0; f'(0) = 9/2; f(3) = 0.
Nun zu g(x):
g(x) = [mm] ax^{2} [/mm] + bx + c
g'(x) = 2ax + b
g(0) = c; g'(0) = b; g(3) = 9a + 3b + c.
Daraus 3 Gleichungen für a, b, c:
(I) c=0.
(II) b = 9/2.
(III) 9a + 3b + c = 0.
Naja: Und nachdem aus (I) und (II) die Konstanten b und c direkt abzulesen sind, fehlt nur noch a, das aus (III) leicht auszurechnen ist!
mfG!
Zwerglein
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