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| Aufgabe | Frage zu Vorlesung: Im Skript steht:
linear: bis zu einer Stelle Genauigkeit
superlinear: eine bis doppelte Anzahl an Stellen Genauigkeit
quadratisch: doppelte Anzahl und mehr Stellen Genauigkeit
kubisch: dreifach und mehr Stelllen ... |
Es geht um iterative numerische Verfahren.
Behandelt wurde das Bisektionsverfahren: lineare Konvergenz
mit zwei Varianten:
Regula Falsi lineare Konvergenz und
"Original Sekantenverfahren" superlineare Konvergenz
Meine Frage:
linear: Genauigkeit auf eine Stelle nach dem Komma oder was für eine Stelle?
superlinear: eine bis doppelte Anzahl an Stellen Genauigkeit:
was heißt das? Heißt das: eine oder das Doppelte davon, also zwei Stellen Genauigkeit? Warum dann so ausgedrückt? Oder wie?
quadratisch: doppelte Anzahl und mehr Stellen Genauigkeit: das Doppelte wovon?
kubisch: dreifach und mehr Stelllen ...: das Dreifache wovon?
Für eine Antwort wäre ich sehr dankbar!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Sa 20.12.2025 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mathemurmel,
ich bin mit meiner Antwort etwas vorsichtig, da ich nicht genau weiß, ob sich in den letzten Jahren oder auch Jahrzehnten etwas an der Bedeutung der Begriffe geändert hat.
Es geht hier meines Erachtens nicht um die Genauigkeit der Lösung. Da man solche iterativen Verfahren ja gerade einsetzt, weil man keine genaue analytische Lösung kennt, weiß man auch nicht, wie die genaue Lösung aussieht. Was jedoch von Interesse ist, ist die Frage, wie schnell sich das Iterationsverfahren einer stabilen Lösung nähert, denn dann kann man abschätzen, wieviele Iterationen man (sehr wahrscheinlich) durchführen muss, bevor sich an der Lösung nicht mehr viel ändert.
Bei linearer Konvergenz verringert sich bei jeder Iteration der Fehler um einen konstanten Faktor, der zwischen 0 und 1 liegt. Bei einer quadratischen Konvergenz wird der Fehler, der im Bereich zwischen 0 und 1 liegt, bei jeder Iteration quadriert, was zu einer schnelleren Annäherung an eine stabile Lösung führt als im linearen Fall. Superlinear liegt in der Konvergenzgeschwindigkeit zwischen der linearen und der quadratischen Konvergenzgeschwindigkeit.
In diesem Zusammenhang kenne ich diese Adjektive, die Du uns hier genannt hast.
Herzliche Grüße,
Infinit
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