Geo-Verteilung und bedingte Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich habe eine von vielen  Fragen zur Stochastik:
Jemand wartet auf ein Taxi. Die Wartezeit W1 in Minuten ist Geo+(0,2) verteilt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 5 Minuten noch kein Taxi da ist?
b) Wie groß ist unter der Bedingung, dass nach 10 Minuten immer noch kein Taxi da ist, die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass nochmal mehr als 5 Minuten auf das Taxi gewartet werden muss?
Vielen Dank!
Gruß
Tom
P.S. Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Sa 28.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo tom-und-sabine,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Hier mal ein Antwortversuch meinerseits, in der Hoffnung, dass er ggfs. korrigiert wird.
> ich habe eine von vielen Fragen zur Stochastik:
> Jemand wartet auf ein Taxi. Die Wartezeit W1 in Minuten
> ist Geo+(0,2) verteilt.
>
> a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 5 Minuten
> noch kein Taxi da ist?
Diese Wahrscheinlichkeit läßt sich nicht direkt mittels der geometrischen Verteilung ausdrücken, aber über die Formulierung des Gegenereignisses [mm] $\bar [/mm] E$:
Das Gegenereignis ist, dass nach 1 Minute oder 2 Minuten oder 3 Minuten oder 4 Minuten ein Taxi gekommen ist, mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion ausgedrückt:
[mm] $P(\bar [/mm] E)=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)$
P(2) ist beispielsweise: [mm] $P(2)=0.2*0.8^{2-1}=0.2*0.8$
[/mm]
Die W'keit des eigentlichen Ereignisses ist dann:
[mm] $P(E)=1-P(\bar [/mm] E)=1-P(1)-P(2)-P(3)-P(4)$
Damit müßte die Aufgabe doch zu schaffen sein, oder?
> b) Wie groß ist unter der Bedingung, dass nach 10 Minuten
> immer noch kein Taxi da ist, die bedingte
> Wahrscheinlichkeit, dass nochmal mehr als 5 Minuten auf das
> Taxi gewartet werden muss?
Hier wäre es gut für mich zu wissen, wo genau Eurer Problem liegt.
Die Formel für die bedingte W'keit kennt Ihr?
Dann ist nur noch ein Problem, die Ereignisse A und B zu erklären:
A: Es muss mehr als 15 Minuten auf das Taxi gewartet werden
B: Es muss mehr als 10 Minuten auf das Taxi gewartet werden
Was ist dann [mm] $A\cap [/mm] B$?
Die Ausdrücke [mm] $P(A\cap [/mm] B)$ und $P(B)$ (die man für die Formel der bedingten W'keit benötigt, können wie in a) berechnet werden, möglicherweise unter Verwendung der geometrischen Reihe
Bin gespannt auf Eure Versuche/Ergebnisse/weitere Fragen.
Viele Grüße,
Marc
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Hallo Marc,
danke für Deine Antwort. Trotzdem habe ich noch ein paar Probleme mit der Lösung:
zu a)
Wenn ich das richtig sehe, hast Du die Formel verwendet "Anzahl der Versuche bis zum ersten Treffer". Nun, falls das Taxi sofort da ist (also ich 0 Minuten gewartet habe), hätte ich beim 1. Versuch einen Treffer. Wenn das Taxi nach 1 Minute kommt, hätte ich beim 2. Versuch einen Treffer. ... Wenn das Taxi nach 5 Minuten kommt, hätte ich beim 6. Versuch einen Treffer. Das Gegenereignis, wie Du schon gesagt hast, wäre die gesuchte Wkeit, dass nach 5 Minuten noch kein Taxi da ist.
Vielleicht habe ich mich mittlerweile total verrannt, aber fehlen dann nicht P(5) und P(6)?
$ [mm] P(E)=1-P(\bar [/mm] E)=1-P(1)-P(2)-P(3)-P(4)-P(5)-P(6) = 0,2621 $
Mein anderer Gedanke ist, nach 5 Minuten ( > 5, also frühestens in der 6. Minute) kommt das Taxi. Dieses würde bedeuten, ich habe vorher 5 Nieten bis zum ersten Erfolg in der 6. Minute. Das Gegenereignis der Formel "Anzahl der Nieten vor dem ersten Treffer", wäre die gesuchte Wkeit, dass nach 5 Minuten noch kein Taxi da ist.
Dies wäre dann:
$ P(E) = [mm] 1-P(\bar E)=\summe_{i=0}^{5}(1-p)^{i}*p [/mm] = 0,2621 $
Nach Deiner Rechnung wäre das Ergebnis 0,4096.
Irgendwie unterscheiden sich unsere P(E) um zwei Einzel-Wkeiten. Gibt es einen Denkfehler?
zu b)
Ich denke auch, dass die gesuchte Wkeit P(nach 15 Min. kein Taxi | nach 10 Min. kein Taxi) gesucht ist.
P(A) : nach 15 Min. kein Taxi ist nach meinem Gedanken in a) 0,0281 oder nach Dir: 0,0440
P(B) : nach 10 Min. kein Taxi ist nach meinem Gedanken in a) 0,0859 oder nach Dir: 0,1342
Die Formel zu bedingten Wahrscheinlichkeit kenne ich. Und genau da ist das Problem. Wie berechne ich $ [mm] A\cap [/mm] B $? Wie funktioniert das über a)? An der Stelle habe ich überhaupt keine Idee.
Danke & Gruß
Tom
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:18 Sa 28.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Tom!
> zu a)
> Wenn ich das richtig sehe, hast Du dir Formel verwendet
> "Anzahl der Versuche bis zum ersten Treffer". Nun, falls
> das Taxi sofort da ist (also ich 0 Minuten gewartet habe),
> hätte ich beim 1. Versuch einen Treffer. Wenn das Taxi nach
> 1 Minute kommt, hätte ich beim 2. Versuch einen Treffer.
> ... Wenn das Taxi nach 5 Minuten kommt, hätte ich beim 6.
> Versuch einen Treffer. Das Gegenereignis, wie Du schon
> gesagt hast, wäre die gesuchte Wkeit, dass nach 5 Minuten
> noch kein Taxi da ist.
>
> Vielleicht habe ich mich mittlerweile total verrannt, aber
> fehlen dann nicht P(5) und P(6)?
> [mm]P(E)=1-P(\bar E)=1-P(1)-P(2)-P(3)-P(4)-P(5)-P(6) = 0,2621[/mm]
>
>
> Mein anderer Gedanke ist, nach 5 Minuten ( > 5, also
> frühestens in der 6. Minute) kommt das Taxi. Dieses würde
> bedeuten, ich habe vorher 5 Nieten bis zum ersten Erfolg in
> der 6 Minute. Das Gegenereignis der Formel "Anzahl der
> Nieten vor dem ersten Treffer", wäre die gesuchte Wkeit,
> dass nach 5 Minuten noch kein Taxi da ist.
>
> Dies wäre dann:
> [mm]P(E) = 1-P(\bar E)=\summe_{i=0}^{5}(1-p)^{i}*p = 0,2621[/mm]
>
>
> Nach Deiner Rechnung wäre das Ergebnis 0,4096.
> Irgendwie unterscheiden sich unsere P(E) um zwei
> Einzel-Wkeiten. Gibt es einen Denkfehler?
Nein, ich denke nicht, will heissen, dass ich mir darum keine Gedanken gemacht hatte und es dir überlassen wollte, weil ich dachte, dass erst das Prinzip klar werden sollte.
Ich kann es auch immer noch nicht genau beantworten, da ich nicht genau weiß, ob auch Wartezeiten von 0 Minuten erlaubt sind -- würde aber vielleicht tatsächlich Sinn machen.
Dann würde ich folgendes sagen: Gesucht ist die W'keit, dass die Wartezeit größer oder gleich 6 Minuten ist, also [mm] $P(k\ge [/mm] 6)$.
Die Berechnung über das Gegenereignis ist dann: [mm] $P(k\ge 6)=1-P(k=0)-P(k=1)-\ldots-P(k=5)$.
[/mm]
Also ist deine Formel richtig.
(Ich werde das später in meiner ursprünglichen Antwort ändern, da ich jetzt keine Zeit habe.)
> zu b)
> Ich denke auch, dass die gesuchte Wkeit P(nach 15 Min.
> kein Taxi | nach 10 Min. kein Taxi) gesucht ist.
>
> P(A) : nach 15 Min. kein Taxi ist nach meinem Gedanken in
> a) 0,0281 oder nach Dir: 0,0440
> P(B) : nach 10 Min. kein Taxi ist nach meinem Gedanken in
> a) 0,0859 oder nach Dir: 0,1342
>
> Die Formel zu bedingten Wahrscheinlichkeit kenne ich. Und
> genau da ist das Problem. Wie berechne ich [mm]A\cap B [/mm]? Wie
> funktioniert das über a)? An der Stelle habe ich überhaupt
> keine Idee.
Ich denke, wenn man es sich mal formelhaft hinschreibt, wird es klar.
[mm] $A=\{k\ge 11\}$ [/mm] (Wartezeit größer oder gleich 11 Minuten)
[mm] $B=\{k\ge 16\}$ [/mm] (Wartezeit größer oder gleich 16 Minuten)
Dann ist [mm] $A\cap B=\{k\ge 11\}\cap\{k\ge 16\}=\{k\ge 16\}=B$.
[/mm]
Vielleicht äußert sich aber noch ein Experte zu meiner Antwort, ich bin zwar recht zuversichtlich, dass sie richtig ist, aber in der Stochastik habe ich mich schon häufig geiirt (und in den anderen Teilgebieten sowieso  )
Viele Grüße,
Marc
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Hi Marc,
wow, das ging ja schnell!
Wenn $ [mm] A\cap B=\{k\ge 11\}\cap\{k\ge 16\}=\{k\ge 16\}=B [/mm] $ ist,
dann wäre ja $ P(B|A) = [mm] \bruch{P(A\cap B)}{P(A)}=\bruch{P(B)}{P(A)}=0,3277 [/mm] $. Richtig?
In einer weiteren Aufgabe soll man dieses Ergebnis mit dem Ergebnis in a) vergleichen: Warum konnte man dieses Ergebnis erwarten?
Irgendwie sehe ich da noch keinen Zusammenhang...
--
Ergänzung:
Ich habe eine Idee zu dem Zusammenhang:
Es ist gefragt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass nach 10 Minuten ($ [mm] A=\{k\ge 11\} [/mm] $) nochmals mehr als 5 Minuten ($ [mm] =\{k\ge 6\} [/mm] $) gewartet werden muss. Dies würde doch bedeuten, dass die Wartezeit in Summe größer gleich 17 Minuten (>=11+6) ist. Oder sind es doch nur größer gleich 16 Minuten (>10+5)???
Angenommern $ [mm] A=\{k\ge 11\} [/mm] $ und $ [mm] B=\{k\ge 17\} [/mm] $ dann wäre $ P(B|A) = [mm] \bruch{P(A\cap B)}{P(A)}=\bruch{P(B)}{P(A)}=0,2621 [/mm] $ das Ergebnis aus a). Somit gäbe es einen Zusammenhang. Nun die Experten bitte...
--
Viele Grüße
Tom
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:45 So 29.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Tom und Sabine!
> Angenommern [mm]A=\{k\ge 11\}[/mm] und [mm]B=\{k\ge 17\}[/mm] dann wäre
> [mm]P(B|A) = \bruch{P(A\cap B)}{P(A)}=\bruch{P(B)}{P(A)}=0,2621[/mm]
> das Ergebnis aus a). Somit gäbe es einen Zusammenhang. Nun
> die Experten bitte...
Diese Antwort ist jetzt richtig.
Beobachtet werden soll die sogenannte Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung.
Ist $X$ geometrisch verteilt, so gilt:
$P( X [mm] \ge [/mm] n + m | X [mm] \ge [/mm] n ) = P( X [mm] \ge [/mm] m )$.
(Dazu gibt es eine Reihe äquivalenter Gleichungen.)
Man hätte damit (wenn man diese Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung gekannt hätte) sofort das Ergebnis aus a) hinschreiben können.
Die geometrische Verteilung ist die einzige diskrete Verteilung mit dieser Eigenschaft. Im stetigen Fall dagegen hat man ein passendes Pendant: die Exponentialverteilung, diese ist ebenfalls gedächtnislos.
Ach so, ja, zu der weiteren noch offenen (?) Frage: $0$ Minuten machen auch Sinn. Der Wert $0$ wir bei einer $Geo(p)$-verteilten Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeit $p$ angenommen.
Liebe Grüße
Stefan
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Vielen Dank an alle, die mir bei der Lösung der Aufgabe geholfen haben.
Gruß
Tom
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