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Geom. Reihe;Formale Pot.reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:30 Sa 04.05.2013
Autor: Labrinth

Aufgabe
Es sei $R$ ein Ring mit Eins. Dann gilt [mm] $(1-X)\sum_kX^k=(\sum_kX^k)(1-X)=1$ [/mm] in dem Ring der formalen Potenzreihen [mm] $R[X]\.$. [/mm] (Der Befehll llbracket für die richtigen Klammern funktioniert leider nicht.)


Guten Tag

[mm] $R[X]:=(R^\IN,+,\cdot)$ [/mm] ist definiert durch [mm] (\IN [/mm] MIT 0)

[mm] $\bigl((p+q)_k\bigr)_k:=(p_k+q_k)_k$ [/mm]

[mm] \bigl((pq)_k\bigr)_k:=\left(\sum_{j=0}^kp_jq_{k-j}\right)_k [/mm]

für [mm] $(p_k)_k,(q_k)_k\in R^\IN$. [/mm]

Außerdem gilt nach Definition:

[mm] $1:=(1,0,0,0,0,0,...)=:(p_k)_k$ [/mm]
[mm] $X:=(0,1,0,0,0,0,...)=:(q_k)_k$ [/mm]
[mm] $\sum_kX^k:=(1,1,1,1,1,1,...)=:(r_k)_k$ [/mm]

Also

[mm] $(1-X)\sum_kX^k=\underbrace{\bigl((p-q)_k\bigr)_k}_{=(1,-1,0,0,0,0,...)}(r_k)_k=\left(\sum_{j=0}^k(p-q)_j\underbrace{r_{k-j}}_{=1}\right)_k=\Bigl((p-q)_0,(p-q)_0+(p-q)_1,(p-q)_0+(p-q)_1+(p-q)_2,...\Bigr)=(1,1-1,1-1+0,1-1+0+0,...)=(1,0,0,0,...)=1$. [/mm]

Das ist jetzt aber ziemlich unelegant, weil ich nur die ganz elementaren Definitionen verwende.
Ich würde gerne das ganze schon ein bisschen mit Summenzeichen
und so in der üblichen Schreibweise formulieren, aber daran scheitere ich immer.
(Denn es ist ja üblich statt [mm] $(p_k)_k$ [/mm] einfach [mm] $\sum_kp_kX^k$ [/mm] zu schreiben)
Wäre nett, wenn mir dabei jemand helfen könnte.

Beste Grüße,
Labrinth

        
Bezug
Geom. Reihe;Formale Pot.reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 So 05.05.2013
Autor: felixf

Moin Labrinth!

> Es sei [mm]R[/mm] ein Ring mit Eins. Dann gilt
> [mm](1-X)\sum_kX^k=(\sum_kX^k)(1-X)=1[/mm] in dem Ring der formalen
> Potenzreihen [mm]R[X]\.[/mm]. (Der Befehll llbracket für die
> richtigen Klammern funktioniert leider nicht.)
>  
> Guten Tag
>  
> [mm]R[X]:=(R^\IN,+,\cdot)[/mm] ist definiert durch [mm](\IN[/mm] MIT 0)
>  
> [mm]\bigl((p+q)_k\bigr)_k:=(p_k+q_k)_k[/mm]
>  
> [mm]\bigl((pq)_k\bigr)_k:=\left(\sum_{j=0}^kp_jq_{k-j}\right)_k[/mm]
>  
> für [mm](p_k)_k,(q_k)_k\in R^\IN[/mm].
>  
> Außerdem gilt nach Definition:
>  
> [mm]1:=(1,0,0,0,0,0,...)=:(p_k)_k[/mm]
>  [mm]X:=(0,1,0,0,0,0,...)=:(q_k)_k[/mm]
>  [mm]\sum_kX^k:=(1,1,1,1,1,1,...)=:(r_k)_k[/mm]
>  
> Also
>  
> [mm](1-X)\sum_kX^k=\underbrace{\bigl((p-q)_k\bigr)_k}_{=(1,-1,0,0,0,0,...)}(r_k)_k=\left(\sum_{j=0}^k(p-q)_j\underbrace{r_{k-j}}_{=1}\right)_k=\Bigl((p-q)_0,(p-q)_0+(p-q)_1,(p-q)_0+(p-q)_1+(p-q)_2,...\Bigr)=(1,1-1,1-1+0,1-1+0+0,...)=(1,0,0,0,...)=1[/mm].
>  
> Das ist jetzt aber ziemlich unelegant, weil ich nur die
> ganz elementaren Definitionen verwende.
>  Ich würde gerne das ganze schon ein bisschen mit
> Summenzeichen
>  und so in der üblichen Schreibweise formulieren, aber
> daran scheitere ich immer.
>  (Denn es ist ja üblich statt [mm](p_k)_k[/mm] einfach [mm]\sum_kp_kX^k[/mm]
> zu schreiben)
>  Wäre nett, wenn mir dabei jemand helfen könnte.

Verwende doch, dass [mm] $\sum_k X^k [/mm] = 1 + X [mm] \sum_k X^k$ [/mm] ist - das kann man mit den Folgen recht schnell einsehen. Wenn du dann noch das Distributivitaetsgesetz verwendest, erhaelst du: $(1 - X) [mm] \sum_k X^k [/mm] = [mm] \sum_k X^k [/mm] - X [mm] \sum_k X^k [/mm] = 1 + X [mm] \sum_k X^k [/mm] - X [mm] \sum_k X^k [/mm] = 1$.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Geom. Reihe;Formale Pot.reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:06 Mi 08.05.2013
Autor: Labrinth

Danke, so mache ich es :-)

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