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Forum "Uni-Sonstiges" - Geometrie
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Geometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:29 Mi 23.05.2012
Autor: Ana-Lena

Aufgabe
Gegeben ist [mm] $\sin(\alpha) [/mm] + [mm] cos(\alpha) [/mm] = d$, wobei d eine Konstante ist. Berechne den Wert von [mm] $\sin^6(\alpha)+\cos^6(\alpha)$ [/mm] in Abhängigkeit von $d$.


Hey,

meine Idee
[mm] $\sin^6(\alpha)+\cos^6(\alpha) [/mm] = [mm] (\sin^2(\alpha))^3+\cos^6(\alpha)$ [/mm]

[mm] $=(1-\cos^2(\alpha))^3+\cos^6(\alpha) [/mm] = ... = [mm] 1-3*\cos^2(\alpha)+3*cos^4(\alpha)$ [/mm]

$= [mm] 1-3*\cos^2(\alpha)(1-cos^2(\alpha)) [/mm] = [mm] 1-3*\cos^2(\alpha)(\sin^2(\alpha)) [/mm] = [mm] 1-3*(\cos(\alpha)\sin(\alpha)))^2$ [/mm]

Aber ich finde auch wenn ich [mm] $\cos(\alpha)=c-\sin(\alpha)$ [/mm] einsetze, dass es kein "schöner Wert" ist.

$= [mm] 1-3*((c\sin(\alpha))-c\sin^2(\alpha)))^2$ [/mm]

Hat jemand eine Idee? Liege ich sehr falsch?

Liebe Grüße,
Ana-Lena



        
Bezug
Geometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:29 Mi 23.05.2012
Autor: reverend

Hallo Ana-Lena,

ich sehe gerade nicht, wie Dein Weg weiterführt. Ich würde anders vorgehen.

> Gegeben ist [mm]\sin(\alpha) + cos(\alpha) = d[/mm], wobei d eine
> Konstante ist. Berechne den Wert von
> [mm]\sin^6(\alpha)+\cos^6(\alpha)[/mm] in Abhängigkeit von [mm]d[/mm].
>  
> Hey,
>
> meine Idee
>  [mm]\sin^6(\alpha)+\cos^6(\alpha) = (\sin^2(\alpha))^3+\cos^6(\alpha)[/mm]
>  
> [mm]=(1-\cos^2(\alpha))^3+\cos^6(\alpha) = ... = 1-3*\cos^2(\alpha)+3*cos^4(\alpha)[/mm]
>  
> [mm]= 1-3*\cos^2(\alpha)(1-cos^2(\alpha)) = 1-3*\cos^2(\alpha)(\sin^2(\alpha)) = 1-3*(\cos(\alpha)\sin(\alpha)))^2[/mm]
>  
> Aber ich finde auch wenn ich [mm]\cos(\alpha)=c-\sin(\alpha)[/mm]
> einsetze, dass es kein "schöner Wert" ist.
>  
> [mm]= 1-3*((c\sin(\alpha))-c\sin^2(\alpha)))^2[/mm]
>  
> Hat jemand eine Idee? Liege ich sehr falsch?

Falsch nicht, aber ist das zielführend?

Ich würde so anfangen:

[mm] 1=(\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha})^3=\sin^6{\alpha}+3\sin^4{\alpha}\cos^2{\alpha}+3\sin^2{\alpha}\cos^4{\alpha}+\cos^6{\alpha} [/mm]

[mm] \Rightarrow \sin^6{\alpha}+\cos^6{\alpha}=1-3\sin^2{\alpha}\cos^2{\alpha}(\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha})=1-3(\sin{\alpha}\cos{\alpha})^2 [/mm]

Aus [mm] d^2=(\sin{\alpha}+\cos{\alpha})^2=\sin^2{\alpha}+2\sin{\alpha}\cos{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1+2\sin{\alpha}\cos{\alpha} [/mm]

kannst Du nun die gesuchte Beziehung zu d herstellen.

Grüße
reverend


Bezug
        
Bezug
Geometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:49 Mi 23.05.2012
Autor: weduwe

ich vermute, ich habe es mir deutlich einfacher gemacht, na schauen wir einmal :-)

mein ergebnis wäre

[mm] sin^6\alpha+cos^6\alpha=\frac{1+6d^2-3d^4}{4} [/mm]

und das könnte sogar stimmen

Bezug
                
Bezug
Geometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:59 Mi 23.05.2012
Autor: reverend

Hallo weduwe,

> ich vermute, ich habe es mir deutlich einfacher gemacht, na
> schauen wir einmal :-)
>  
> mein ergebnis wäre
>  
> [mm]sin^6\alpha+cos^6\alpha=\frac{1+6d^2-3d^4}{4}[/mm]
>  
> und das könnte sogar stimmen

Ja, das stimmt. Ich habe nur einen Rechenschritt vor dem Ergebnis aufgehört, siehe oben.

Wie lautet denn Dein noch einfacherer Weg?
Lies vorher vielleicht mal meine Antwort auf die Frage...

Grüße
reverend


Bezug
                        
Bezug
Geometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:13 Mi 23.05.2012
Autor: weduwe

ich setze

[mm](1)\quad{ }x+y=d[/mm] mit [mm](2)\quad{ }y^2=1-x^2[/mm]

(2) in [mm]\quad{ }x^6+y^6=D[/mm] eingesetzt führt auf

[mm](3)\quad{ }3x^4-3x^2+1=D[/mm]

jetzt x aus (1) ausrechnen ergibt

[mm] D=\frac{1+6d^2-3d^4}{4} [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Geometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Mi 23.05.2012
Autor: reverend

Hallo weduwe,

das ist doch der gleiche Weg in anderer Verkleidung. Er sieht knapper aus, weil Du x und y als Schreiberleichterung einführst und die Zwischenschritte beim letzten Einsetzen auslässt.

Naja, egal. Es führen ja viele Wege nach Rom. Hauptsache, man kommt an.

Grüße ;-)
reverend


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