Geometrie: Flächenaufteilung eines Dreiecks < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:53 Do 24.06.2004 | | Autor: | Krompi |
Hallo,
Ich habe folgendes Problem: Ich habe ein Dreieck, von dem mir die Länge aller Seiten bekannt ist. In dessen Inneren ist ein Punkt gesucht. von diesen Punkt werden die Lote auf die Dreieckseiten gefällt. Als Ergebnis hat man dann 3 viereckige Flächen. Die Vorgabe ist, dass diese Flächen gleich groß sein sollen.
Könnt ihr mir weiterhelfen, wie man dieses Problem am besten angeht?
Im Voraus schon mal Danke für die Hilfe!
mfg
Krompi
P.S. Diese Frage habe ich schon mal einem Forum einer anderen Seite gestellt (![[]](/images/popup.gif) http://www.onlinemathe.de). Dort hat ein Mitglied dieses Forum als Vorschlag den Schwerpunkt gebracht, was imo nicht richtig ist, da man den Punkt nicht mit den Ecken verbindet, sondern die Lote auf die Seiten fällt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Fr 25.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Crompi
also: nach stundenlangem Knobeln bin ich zu der Ueberzeugung gelangt, dass es nur in Spezialfällen des gegebenen Dreieckes eine Lösung des Problems geben kann, nämlich wenn das Dreieck gleichschenklich ist (was selbstverständlich auch die gleichseitigen Dreiecke mit einschliesst.)
Vielleicht gelingt es dir ja, das formal zu beweisen (in solch formalen Sachen bin ich selber eben nicht gerade ein Hirsch)
Wie bin ich zu der Ueberzeugung gelangt?
1) Durch den Versuch, mittels einer Lösung im speziellen, gleichseitigen Dreieck: dort ist ja der Schwepunkt eine Lösung des Problems. Dann habe ich versucht, durch lineare Abbildungen das gleichseitige Dreieck in das gegebene Dreieck zu überführen, dabei bleiben ja die Flächen-und Seitenverhältnisse bestehen. Leider verändern sich aber die Winkel. Somit habe ich die Lösung des gleichseitigen Dreiecks modifiziert, indem ich mal nicht auf den Winkel, sondern nur auf die Flächenverhältnisse geachtet habe und bin zum Schluss gekommen, dass man das 3 Strahlen, die vom Schwerpunkt ausgehen und unter einem Winkel von je 120 Grad zueinander stehen, einfach simultan rotieren kann. Dadurch verschieben sich alle Schnittpunkte mit den Dreiecksseiten. Das heisst aber, dass im Bild des Dreieckes sich die Punkte auch "rotationsähnlich" verschieben müssten. Eine Weitere Art, die Verhältnisse in gleichseitigen Dreieck zu manipulieren wäre, den gesuchten Punkt vom Schwerpukt ausgehend auf einer Schwerlinie zu verschieben, womit aber dann die 3 Strahlen nicht mehr alle im gleichen Winkel zueinander stehen. Auf diese Art kann aber nur eine Lineare Abbildung konstruiert werden, die ein gleichschenkliges Dreieck erzeugt, weil ja ein Schnittwinkel der Srahlen bereits rechtwinklich ist.
2) Ich habe mir mal überlegt, wo sich der Punkt im Dreieck bewegen müsste, wenn nur einmal gefordert wird, dass eines der 3 entstehende Vierecke eine konstante Fläche aufweisen muss, egal was mit den anderen beiden Vierecken passiert. Hier bin ich zum Schluss gekommen, dass sich der Punkt auf einer Hyperbel bewegen müsste. Zeichnest du in deinem Gegebenen Dreick aber mal für alle Vierecke diese Hyperbel ein, dann stellst du fest, dass diese Hyperbeln nur in Spezialfällen einen gemeinsamen Schnittpunkt haben können. (Wie zum Beispiel im gleichseitigen Dreieck) Vielleicht täusche ich mich aber auch? Die Parabeln für die Ecke A und für die Ecke B schneiden sich ja in 2 Punkten. Die Parabel für Ecke C könnte aber auch noch durch einen dieser beiden Schnittpunkte laufen ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Möglicherweise gehört aber gerade die Bedingung, dass die konstante Fläche einen Drittel des Dreiecks enthalten muss, zu einem Spezialfall, der dann eine Lösung ergibt.
Ich werde aber noch ein Wenig pröbeln, das sind nur einmal kurze Berichte meiner unfruchtbaren Gedankengänge, bei denen du vielleicht anknüpfen kannst. 
Mit lieben Grüssen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Do 01.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Krompi,
angespornt durch die schwindende Fälligkeit habe ich mir noch mal Gedanken über die Aufgabe gemacht, ich hoffe, sie ist überhaupt noch aktuell für dich.
Ich skizziere meine Lösung erst mal nur mit Worten, falls es nicht deutlich wird, liefere ich auch gerne noch eine Zeichnung nach 
Gegeben ist also ein Dreieck ABC (darf nicht stumpfwinklig sein) mit dem Flächeninhalt I.
Ich lege ein Koordinatensytem in den Punkt A, so dass die Seite c auf der x-Achse zu liegen kommt.
[mm] $L_a, L_b, L_c$ [/mm] seien die Lotfußpunkte auf die drei Seiten.
$b(x)=m*x$ ist die (Ursprungs-) Gerade, auf der die Seite b liegt, $n(x)$ sei die Normale zu b(x) durch den Punkt [mm] $L_b(x_b|y_b)$:
[/mm]
[mm] $n(x)=-\bruch{1}{m}*x+b(x_b)+\bruch{1}{m}*x_b$
[/mm]
Nun bilde ich ein Lot auf Seite c, an der Stelle [mm] $x_c$. [/mm] Auf diesem Lot liegt der gesuchte Punkt [mm] $S(x_c,y)$.
[/mm]
Zunächst berechne ich für ein beliebiges [mm] $x_b$ [/mm] den Schnittpunkt der beiden Lote, das ist einfach:
Er liegt an der Stelle [mm] x_c [/mm] und hat die y-Koordinate [mm] $n(x_c)$, [/mm] also [mm] $S(x_c|n(x_c))$
[/mm]
Für ein festes [mm] x_c [/mm] muß [mm] x_b [/mm] so gewählt werden, dass das Viereck [mm] $AL_{c}SL_b$ [/mm] den Inhalt [mm] $\bruch{1}{3}I$ [/mm] hat.
Der Flächeninhalt dieses Vierecks ist [mm] $\bruch{1}{2}*x_c*n(x_c)+\bruch{1}{2}*\wurzel{x_b^2+b(x_b)^2}*\wurzel{(x_b-x_c)^2+(b(x_b)-n(x_c))^2}\stackrel{!}{=}\bruch{1}{3}I$
[/mm]
Das ist ja einfach die Summe der beiden Teildreiecke, aus denen das Viereck besteht.
Ich hoffe, diese Gleichung kann nach [mm] x_b [/mm] aufgelöst werden (beachte, dass n(x) auch von [mm] x_b [/mm] abhängt!), immerhin ist [mm] x_b [/mm] eindeutig bestimmt, wenn [mm] x_c [/mm] vorgegeben wird.
[mm] x_c [/mm] muß jetzt nur noch so gewählt werden, dass auch das Viereck [mm] $L_{c}BL_{a}S$ [/mm] den Flächeninhalt [mm] \bruch{1}{3}I [/mm] erhält.
Das wird eine schöne Rechnerei
Wenn du magst, können wir das ja mal zusammen probieren.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Krompi |
Hallo Marc,
Aktuell ist die Frage eigentlich nicht mehr, aber interessieren würde mich eine Lösung schon.
Ich habe gestern mal mit deinen Gedankenansatz etwas rumgerechnet. Das dumme EM-Spiel gestern hat mich allerdings etwas abgelenkt.
Ich finde den Ansatz eigentlich ganz vielversprechend, allerdings wird die Berechnung des Flächeninhalts des zweiten Vierecks, doch etwas umfangreicher, da ja darin auch die Berechnung des Punktes [mm] L_{c} [/mm] darinsteckt.
Ich werde mich aber das Wochende mal hinsetzen und schauen, was bei meiner Rechnerei so rauskommt.
Ergebnisse werde ich dann hier präsentieren.
mfg
Krompi
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