Geometrie Jahrgang 8 < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Do 18.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Zeichne 2 Dreiecke in ein Koordinat.-Syst.
Das linke A (-10/4), B (-2/6), C (-11/8) u.
das rechte A (9/2), B (7/10), C (5/1)
a) Sind die Dreiecke gleichsinnig kongruent zueinander? Begründe!
b) Gib eine Verkettg. v. Kongruenzabbildungen an, die das linke Dreieck auf das rechte abbildet. Es gibt mehrere Möglichkeiten.
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Kann jemand meine Antw./Lösung so korrigieren, sodass es für Schulnieveau (8.Kl. Gym.) ausreicht?
a) Sie sind zwar kongruent, aber nicht gleichsinnig kongruent. Denn gleichsinnige Kongruenz liegt vor, wenn 2 Figuren parallel zueinander liegen.
b) Ich komme auf insges. 5 Möglichkeiten. Sind alle gültig u. richtig?
1- Drehg., Verschiebg., Verschiebg.
2- Verschiebg., Drehg., Verschiebg.
3- Verschiebg., Verschiebg., Drehg.
gemeint sind eine waagerechte u. eine senkrechte Verschiebg.
Wenn diese nun zus.gefaßt werden (""Vektor"") zu einer Verschiebg., dann ergibt sich:
4- Verschiebg., Drehung
5- Drehung, Verschiebg.
Ist das die Antw. die gewünscht war?
Darf man mehrere Verschiebungen zusam.fassen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Do 18.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Zeichne 2 Dreiecke in ein Koordinat.-Syst.
> Das linke A (-10/4), B (-2/6), C (-11/8) u.
> das rechte A (9/2), B (7/10), C (5/1)
> a) Sind die Dreiecke gleichsinnig kongruent zueinander?
> Begründe!
> b) Gib eine Verkettg. v. Kongruenzabbildungen an, die das
> linke Dreieck auf das rechte abbildet. Es gibt mehrere
> Möglichkeiten.
>
> Kann jemand meine Antw./Lösung so korrigieren, sodass es
> für Schulnieveau (8.Kl. Gym.) ausreicht?
> a) Sie sind zwar kongruent, aber nicht gleichsinnig
> kongruent. Denn gleichsinnige Kongruenz liegt vor, wenn 2
> Figuren parallel zueinander liegen.
Deine letzte Aussage solltest du überdenken. Nicht nur Verschiebungen (bei denen Original-- und Bildstrecke tatsächlich parallel sind), sondern auch Drehungen ändern nicht am Umlaufsinn.
Sollte es tatsächlich gleichsinnig sein, reichen 2 Bewegungen:
(1) Verschiebung eines Original-ckpunktes auf seinen zugehörigen Bildpunkt
(2) Drehung um diesen gemeinsamen Punkt bis zur Überdeckung beider Figuren
Bei entgegengesetztem Umlaufsinn genügen auch 2 Bewegungen: Schritt 1 ist der gleiche.
Der 2. Schritt besteht aus einer Geradenspiegelung. Die Spiegegerade verläuft durch den (nach Schrtt 1) gemeinsamen Punkt beider Dreiecke und durch einen weiteren Punkt, der der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zwischen einem anderen Dreieckspunkt und seinem Gegenstück ist.
Gruß Abakus
> b) Ich komme auf insges. 5 Möglichkeiten. Sind alle gültig
> u. richtig?
> 1- Drehg., Verschiebg., Verschiebg.
> 2- Verschiebg., Drehg., Verschiebg.
> 3- Verschiebg., Verschiebg., Drehg.
> gemeint sind eine waagerechte u. eine senkrechte
> Verschiebg.
> Wenn diese nun zus.gefaßt werden (""Vektor"") zu einer
> Verschiebg., dann ergibt sich:
> 4- Verschiebg., Drehung
> 5- Drehung, Verschiebg.
> Ist das die Antw. die gewünscht war?
> Darf man mehrere Verschiebungen zusam.fassen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
Ich habe deine Antw. jetzt 3x gelesen, aber es reicht noch nicht. Ich muss mir 2 gleiche Dreiecke ausschneiden, von beiden die obere Seite bepunkten, damit ich oben u. unten nicht verwechsel u. dann muss ich das mal praktisch machen (nachvollziehen), was du geschrieben hast.
Habe gerade gelesen was Abakus bedeutet. Wäre so ein Hilfsmittel nicht sehr gut geeignet für kleine Kinder (1-4 Kl), macht Subtrakt., Div. u. Multipl. so anschaulich.
Danke dir! Und ein sonniges Wochenende
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
Ich vermute, dass ich Folgendes aus deiner Antw. richtig verstanden habe:
gleichs.-kongr. = wenn sich der Umlaufsinn nicht ändert. Bei Drehung und oder Verschiebg. bleibt er immer erhalten.
gegens.-kongr. = wenn der Umlaufsinn sich ändert, das ist bei der Achs.spieglg. u. Pkt.spiegelg. der Fall.
Richtig so?
(ach so u. das bezieht sich jetzt nur auf die Ebene, nicht auf den Raum!)
Was ich nicht verstanden habe:
Die Erklärung für
>Sollte es tatsächl. gleichsinnig sein, dann reich. 2 Beweg.:
>(1) Verschiebg. eines Orig.Pkt auf seinen zugehörigen Bildpkt.
Meinst du mit Bildpkt, den verschobenen Pkt, also den Pkt der neuen Abbildg.?
Wenn ich nun aber (1) und (2) mit einem "und" verbinde,
dann werden die Fig. sich nie deckgs.gleich überlappen.
Sollte deine Antw. deswegen wie folgt heißen:
Gleichsinnigkeit liegt vor, wenn die Fig. entweder in der Ebene verschoben ODER wenn die Fig. in der Ebene gedreht wurde?
Mir ist nicht klar, was du in (2) mit gemeinsamen Pkt. meinst.
Und mir ist nicht klar, (aber vermutl. folgt das nur daraus) wo die Spiegelgerade verlaufen soll.
Hoffentl. kannst du nochmal antw. - DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Giraffe,
> Ich vermute, dass ich Folgendes aus deiner Antw. richtig
> verstanden habe:
> gleichs.-kongr. = wenn sich der Umlaufsinn nicht ändert.
> Bei Drehung und oder Verschiebg. bleibt er immer erhalten.
> gegens.-kongr. = wenn der Umlaufsinn sich ändert, das ist
> bei der Achs.spieglg. u. Pkt.spiegelg. der Fall.
> Richtig so?
Nein, nur bei der Achsenspiegelung ändert sich der Umlaufsinn, eine Punktspiegelung ist ja eine Drehung um 180°
> (ach so u. das bezieht sich jetzt nur auf die Ebene, nicht
> auf den Raum!)
> Was ich nicht verstanden habe:
> Die Erklärung für
> >Sollte es tatsächl. gleichsinnig sein, dann reich. 2
> Beweg.:
> >(1) Verschiebg. eines Orig.Pkt auf seinen zugehörigen
> Bildpkt.
> Meinst du mit Bildpkt, den verschobenen Pkt, also den Pkt
> der neuen Abbildg.?
Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, kannst Du doch jedem Eckpunkt des Einen Dreiecks genau einen des Bilddreiecks zuordnen. Du verschiebst also erst einmal das erste Dreieck so, dass zum Beispiel der Punkt auf den entsprechenden Punkt des 2. Dreiecks fällt, danach wird passend gedreht.
> Wenn ich nun aber (1) und (2) mit einem "und" verbinde,
> dann werden die Fig. sich nie deckgs.gleich überlappen.
> Sollte deine Antw. deswegen wie folgt heißen:
> Gleichsinnigkeit liegt vor, wenn die Fig. entweder in der
> Ebene verschoben ODER wenn die Fig. in der Ebene gedreht
> wurde?
Nein, du führst erst eine Verschiebung durch und danach eine Drehung. Dabei ändert sich der Umlaufsinn nie.
>
> Mir ist nicht klar, was du in (2) mit gemeinsamen Pkt.
> meinst.
Du verschiebst ja wieder Dein Dreieck so, dass ein Eckpunkt des ersten Dreiecks auf den entsprechenden Punkt des zweiten Dreiecks fällt. Dieser Punkt ist ein Punkt der Spiegelachse. Für den zweiten nimmst Du wieder einen Punkt des ersten Dreiecks und den zugehörigen Punkt des zweiten Dreiecks. Zu diesen beiden Punkten zeichnest Du den Mittelpunkt, das ist der zweite Punkt der Spiegelachse.
Gruß
Sigrid
> Und mir ist nicht klar, (aber vermutl. folgt das nur
> daraus) wo die Spiegelgerade verlaufen soll.
> Hoffentl. kannst du nochmal antw. - DANKE
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Siegrid,
jetzt geht die Luft lgs. raus (Threat wird immer länger u. länger)
Können wir nochmal über Pkt.-Spiegelg. sprechen, denn das ist vermutl. DER Punkt.
Für mich heißt Pkt-Spiegelg.:
Wenn in einem Koordinat.-Syst. in einem Quadranten (Nummerierg. vergessen, vllt. oben li 1, re daneben 2, darunter 3, also Uhrzeig.-Umlaufsinn?) eine Fig. hockt, dann ist es f. mich bislang Pkt.-Spiegelg. gewesen, wenn ich diese Fig. an einer Achse gespiegelt habe u. diese neue Abbildg. nun noch einmal an einer weiteren Achse spiegel.
Z.B. Fig. wird umgeklappt nach unten u. dann nochmal umgeklappt nach links.
Ich habe es ausprobiert, die letzte Fig. ist nicht mehr deckgs.gleich mit der Ausgangs-Fig. (meine Fig. ist ein unregelmäßiges Dreieck, also weder gleichschenklig, noch gleichseitig)
Sollte das od. eine Antw. hierauf nun wieder noch zu weiterer Verwirrung bei mir führen, dann erbitte eine Def. für
gleichsinnig kongruent u. für
gegensinnig kongruent
DANKE vielmals!!!
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> Können wir nochmal über Pkt.-Spiegelg. sprechen, denn das
> ist vermutl. DER Punkt.
> Für mich heißt Pkt-Spiegelg.:
> Wenn in einem Koordinat.-Syst. in einem Quadranten
> (Nummerierg. vergessen, vllt. oben li 1, re daneben 2,
> darunter 3, also Uhrzeig.-Umlaufsinn?) eine Fig. hockt,
> dann ist es f. mich bislang Pkt.-Spiegelg. gewesen, wenn
> ich diese Fig. an einer Achse gespiegelt habe u. diese neue
> Abbildg. nun noch einmal an einer weiteren Achse spiegel.
> Z.B. Fig. wird umgeklappt nach unten u. dann nochmal
> umgeklappt nach links.
Hallo,
die Quadranten sind so: [mm] \pmat{ II.& I. \\ III. & IV.}.
[/mm]
Vergiß mal kurz die Achsenspiegelungen. Weißt Du, wie man eine Punktspiegelung konstruiert?
Mal mal in den I. Quadranten eine Figur, sagen wir: ein Dreieck.
Wir machen jetzt eine Punktspiegelung am Punkt (0,0).
Zeichne eine gerade durch den Ursprung un durch A. Trage auf der anderen Seite des Ursprunges genau die Strecke 0A ab. Da liegt Dein Punkt A'.
Für B und C' genauso. Das ist eine Punktspiegelung.
Dasselbe Ergebnis erhältst Du, wenn Du an zwei Achsen spiegelst, die sich im Winkel von 90°im Spiegelpunkt schneiden. Probier's aus.
Dasselbe Ergebnis erhältst Du auch, wenn Du Deine Figur um 180° drehst.
> Ich habe es ausprobiert, die letzte Fig. ist nicht mehr
> deckgs.gleich mit der Ausgangs-Fig. (meine Fig. ist ein
> unregelmäßiges Dreieck, also weder gleichschenklig, noch
> gleichseitig)
Dann hast Du was falsch gemacht beim Spiegeln. Irgendeinen Abstand falsch abgetragen oder so.
> Sollte das od. eine Antw. hierauf nun wieder noch zu
> weiterer Verwirrung bei mir führen, dann erbitte eine Def.
> für
> gleichsinnig kongruent u. für
> gegensinnig kongruent
> DANKE vielmals!!!
Mal so in Hausfrauenmanier: wenn ich die Ecken meines Ursprungsdreickes gegen den Uhrzeigersinn mit A,B, C bezeichne, und mein Dreieck nach dem Abbilden auch gegen den Uhrzeigersinn die Ecken A', B', C' hat, dann sind die beiden Dreiecke gleichsinnig kongruent.
Das ist der Fall, wenn ich mein Startdreick so abbilde, daß die Abbildung durch eine gerade Anzahl von Spiegelungen ersetzt werden kann.
Die Punktspiegelung ist ein Beispiel für eine Abbildung, bei der Anfangs- und Endfigur gleichsinnig kongruent sind. Man kann die Punktspiegelung ja durch zwei Achsenspiegelungen ersetzen.
Jede Drehung übrigens auch.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Sa 20.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
Ich schrieb u. fragte:
> Ich vermute, dass ich Folgendes aus deiner Antw. richtig
> verstanden habe:
> gleichs.-kongr. = wenn sich der Umlaufsinn nicht ändert.
> Bei Drehung und oder Verschiebg. bleibt er immer erhalten.
> gegens.-kongr. = wenn der Umlaufsinn sich ändert, das ist
> bei der Achs.spieglg. u. Pkt.spiegelg. der Fall.
> Richtig so?
Deine Antw. darauf:
Nein, nur bei der Achsenspiegelung ändert sich der Umlaufsinn, eine Punktspiegelung ist ja eine Drehung um 180°.
Der Thread ging weiter u. weiter, weil ich nicht kapiert habe was genau falsch ist. Nun weiß ich es: Es lag alles an deinem NEIN, das ich so verstanden habe, dass ich alles falsch verstanden habe. Hättest du geschrieben: "Ja, bei deiner Antw. ist insoweit alles richtig, du mußt nur
2 Wörter streichen, nämlich die beiden Wörter "und Pkt.spiegelg."
Das ist ein klassisches Missverständnis.
Trotzdem vielen DANK.
Ich werde den restlichen Thread jetzt nochmal lesen u. hoffe, dass mir weitere Lichter aufgehen.
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