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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:58 Mi 17.12.2008 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
ich habe folgendes Problem. Gegeben ist eine geometrisch Brown'sche Bewegung [mm] S_t [/mm] mit den Parametern [mm] \mu=0,09 [/mm] und [mm] \sigma=0,2 [/mm] bezogen auf den Zeitraum 1 Jahr.
Nun stellen sich die folgenden Fragen:
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Prozess innerhalb eines Monats um mehr 20% fällt?
2. Wieviele solcher Ereignisse (Absinken des Prozesses um mehr als 20% in einem Monat) sind in 108 Jahren zu erwarten?
Ich habe das Problem analytisch und mit einer Simulation gelöst. Allerdings stimmen die Werte nicht überein. Da ich selbst auf die schnelle nicht auf den Fehler komme, hoffe ich hier neue Ansätze zu sehen.
Zu meinem Vorgehen (wer will, kann den Abschnitt gerne überlesen und einen eigenen Ansatz finden):
Als Startpunkt habe ich [mm] S_0 [/mm] = 1 gesetzt. Somit ist [mm] S_t [/mm] logarithmisch normalverteilt. [mm] ln(S_t) [/mm] ist dann normalverteilt. Mit den angegeben Werten habe ich dann die Wahrscheinlichkeit aus der Normalverteilung dafür bestimmt, dass der Wiener Prozess (genauer [mm] \sigma [/mm] * [mm] W_t) [/mm] diese Grenze unterschreitet.
Frage 2 habe ich dann mithilfe der Erwartung einer Binomialverteilung bestimmt. Also 12*108*P(Ereignis).
In der Simulation bin ich so vorgegangen, dass ich in Excel eine gleichverteilte Zufallsvariable erstellt habe. Diese habe ich mithilfe der Funktion "Norminv" auf einen Wert der Normalverteilung gemappt. Dadurch habe ich die Änderung des Wiener Prozesses [mm] W_t [/mm] - [mm] W_s.
[/mm]
Zusammen mit der Änderungen [mm] \mu [/mm] * St * dt habe ich diese Änderungen auf den Wert [mm] S_{t-1} [/mm] addiert. Dabei erhalte ich allerdings mehr Ereignisse, als durch die analytische Rechnung zu erwarten war.
Bei Interesse kann ich das Vorgehen noch detaillierter beschreiben. Ich hoffe hier allerdings primär auf Zahlen, mit denen ich meine vergleichen kann.
Viele Grüße und danke schon mal
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Was war das für die Simulation verwendete Zeitintervall - Tage? Denn eigentlich musst du berücksichtigen, dass ein Jahr zwar nur 12 Monate hat, aber 336 Zeitperioden von je 30 Tagen: vom 1.1. - 30.1, vom 2.1. - 31.1. usw.
Da diese sich überschneiden, sind die Wahrscheinlichkeiten allerdings nicht unabhängig voneinander ...
Dein Bernoulli-Ansatz lässt schlicht zu viele Möglichkeiten links liegen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Do 18.12.2008 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
als Zeitintervall habe ich Monate verwendet. Ich bin ausgehend von 0 in [mm] \bruch{1}{12}-Schritten [/mm] vorangeschritten.
Grüße
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Hi,
ich bin selbst darauf gekommen, dass meine Simulation einen Bug haben muss. Ich weiß allerdings nicht, wo der Fehler steckt. Ich vermute ihn in der Behandlung der Stoch. DGL.
Eine geometrisch Brown'sche Bewegung [mm] S_t [/mm] folgt ja dem folgenden Prozess...
[mm] S_t=a*exp((\mu-\bruch{\sigma^2}{2})*t+\sigma W_t), [/mm] wobei [mm] W_t [/mm] ein Wiener Prozess ist.
Da ich [mm] S_0=1 [/mm] setze, folgt daraus a=1.
Als ich diesen Prozess direkt in Excel simuliert habe (meine zweite Simulation), so erhalte ich genau die Werte, die ich auch analytisch berechnet habe. Dabei habe ich genutzt, dass [mm] W_t [/mm] - [mm] W_s [/mm] normalverteilt ist mit N(0,t-s). Anhand der in der Frage genannten Parameter und der Zeitperiode ist meine Varianz [mm] N(0,\bruch{1}{300}=\bruch{0,2^2}{12}) [/mm] in einer Periode der Länge [mm] \bruch{1}{12}.
[/mm]
Für den Wiener Prozess gilt: [mm] W_{t+1}=W_{t}+dW_{t+1}. [/mm] Dabei erhalte ich [mm] dW_{t+1} [/mm] aus der Simulation. [mm] W_0=0 [/mm] habe ich gesetzt.
Für den Prozess gilt also:
[mm] S_{\bruch{1}{12}}=exp((\mu-\bruch{\sigma^2}{2})*\bruch{1}{12}+\sigma*W_{\bruch{1}{12}}), [/mm] mit [mm] W_{\bruch{1}{12}}=W_0+dW_{\bruch{1}{12}}
[/mm]
In meiner ersten Simulation habe ich auf die Differentialgleichung
[mm] dS_t=\mu*S_t*dt+\sigma*S_t*dW_t
[/mm]
zurückgegriffen.
Dort habe ich nicht den Wiener-Prozess aufsummiert, sondern folgenden Schritt verwendet, in dem ich den Denkfehler vermute. Wenn ich die Differentialgleichung diskretisiere erhalte ich:
[mm] S_t_{i+1}-S_t_i=\mu*S_t_i*(t_{i+1}-t_i)+\sigma*S_t_i*dW_t_{i+1}
[/mm]
Indem ich das [mm] S_t_i [/mm] von der linken auf die rechte Seite verschoben habe, habe ich den Prozess im nächsten Intervall berechnet.
Also: [mm] S_{\bruch{1}{12}}=S_0+\mu*S_0*\bruch{1}{12}+\sigma*S_0*dW_{\bruch{1}{12}}
[/mm]
Für [mm] dW_t [/mm] habe ich dabei dieselbe Normalverteilung angenommen, wie in der neuen Simulation.
Ich hoffe, mir kann jemand meinen Denkfehler erklären.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Sa 20.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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