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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 So 06.03.2005 | | Autor: | Fuechsin |
Hallo alle zusammen!
Ich habe wiedermal eine Aufgabe, bei der ich nicht so ganz weiterkomme, bzw nicht weiß, ob es noch weitergeht...
Und zwar bei geometrischen Folgen:
Wir haben in unserer letzten Stunde die allgemeine Formel für die Summe
[mm] S_{n} [/mm] einer geometrischen Folge aufgestellt und zwar:
[mm] S_{n}= a_{1}*\bruch{1-q^{n}}{1-q}
[/mm]
für [mm] q\not= [/mm] 1
Nun sollen wir versuchen herauszufinden, was für den Fall q=1 gilt.
Also ich komme dabei auf folgende Überlegung:
für geometrische Folgen gilt ja:
[mm] S_{n}= \summe_{i=1}^n a_{1}*q^{i-1}
[/mm]
d.h.
[mm] S_{n}= a_{1}*q^{0}+a_{1}*q^{1}+a_{1}*q^{2}+...+a_{1}*q^{n-1}
[/mm]
wenn ich jetzt für q=1 einsetze, dann kommt ja raus:
[mm] S_{n}= a_{1}*1^{0}+a_{1}*1^{1}+a_{1}*1^{2}+...+a_{1}*1^{n-1}
[/mm]
Das ist dann ja gleich
[mm] S_{n}= a_{1}*(n-1)
[/mm]
ist das "alles", was ich dazu machen muss? oder muss ich das noch irgendwie anders beweisen bzw. begründen, weil diese Überlegung erscheint mir zu simpel, als das sie ausreichen könnte.
Allerdings fällt mir kein anderer Ansatz ein, ich wüsste nich wie ich an der Formel [mm] S_{n}= a_{1}*\bruch{1-q^{n}}{1-q} [/mm] ansetzen sollte...
Hilft mir eventuell die Überlegung, was passiert, wenn q immer näher an die 1 rankommt?
In meinem Schülerduden Mathe habe ich auch noch etwas gefunden, mit den Grenzwerten und so etwas, nur das schien mir wiederum noch weiterführend zu sein (würde aber eventuell doch auch passen, wenn ich überlege, was passiert, wenn q immer näher an 1 rankommt?) doch ich hab da auch nicht so durchgeblickt, weil wir in das Thema Grenzwerte und gebrochene ganzrationale Funktionen erst gerade eingestiegen sind im normalen Mathe-Basiskurs. (Diese Frage zur geometrischen Reihe hier ist aus meinem Mathe-Profilkurs) Wenn ich doch damit überlegne muss, dann muss ich mich erstmal in die Grenzwerte vertiefen, aber vielleicht ist das ja auch gar nicht nötig...?
Würde mich freuen, wenn jemand noch eine andere Idee hätte zu dieser Frage, sollte ich vielleicht an einem anderen Schritt ansetzen oder muss man dazu doch schon mehr über Grenzwerte und soweiter wissen?
Schon mal vielen Danke im voraus und einen schönen Sonntag!
Viele Grüße, fuechsin
Ich hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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Hi, Fuechsin,
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> Nun sollen wir versuchen herauszufinden, was für den Fall
> q=1 gilt.
> Also ich komme dabei auf folgende Überlegung:
>
> für geometrische Folgen gilt ja:
> [mm]S_{n}= \summe_{i=1}^n a_{1}*q^{i-1}
[/mm]
> d.h.
>
> [mm]S_{n}= a_{1}*q^{0}+a_{1}*q^{1}+a_{1}*q^{2}+...+a_{1}*q^{n-1}
[/mm]
>
> wenn ich jetzt für q=1 einsetze, dann kommt ja raus:
>
> [mm]S_{n}= a_{1}*1^{0}+a_{1}*1^{1}+a_{1}*1^{2}+...+a_{1}*1^{n-1}
[/mm]
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>
> Das ist dann ja gleich
> [mm]S_{n}= a_{1}*(n-1)
[/mm]
>
Fast, aber Du hast den 1. Summanden vergessen, daher:
[mm] S_{n}=a_{1}*n
[/mm]
Ist ja auch logisch: Wenn q=1 ist, sind alle Summanden gleich (nämlich [mm] a_{1}). [/mm] Wenn Du n gleiche Summanden hast, muss ja [mm] n*a_{1} [/mm] rauskommen: Da braucht's keinen großen Beweis und schon gar keine Formel!
mfG!
Zwerglein
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