Geometrische Objekte-Gleichung < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Nellie |
| Aufgabe | Welches geometrische Objekt wird durch die Gleichung [mm] \vec{x} [/mm] x [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] x [mm] \vec{a} [/mm] bestimmt, wobei [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] feste Vektoren?
Hinweis: Eigentlich sind das drei Gleichungen. Warum? |
Gefragt ist hier also nach einem geometrischen Objekt, das durch die beiden Kreuzprodukte der Vektoren [mm] \vec{x}, \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] bestimmt wird. Bei dem Vektor [mm] \vec{x} [/mm] handelt es sich um einen Ortsvektor. Die Komponenten des Vektors [mm] \vec{x} [/mm] sind x, y und z.
Ich bekomme gar keine Idee... Wahrscheinlich ist die Antwort banal... Ich denke, es müsste über die Rechenregeln des Kreuzproduktes gehen - ich finde, der gegebene Hinweis deutet das an. Aber ich weiß es einfach nicht!
1000 Dank!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Welches geometrische Objekt wird durch die Gleichung
> [mm]\vec{x}[/mm] x [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vec{b}[/mm] x [mm]\vec{a}[/mm] bestimmt, wobei
> [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] feste Vektoren?
> Hinweis: Eigentlich sind das drei Gleichungen. Warum?
> Gefragt ist hier also nach einem geometrischen Objekt, das
> durch die beiden Kreuzprodukte der Vektoren [mm]\vec{x}, \vec{a}[/mm]
> und [mm]\vec{b}[/mm] bestimmt wird. Bei dem Vektor [mm]\vec{x}[/mm] handelt
> es sich um einen Ortsvektor. Die Komponenten des Vektors
> [mm]\vec{x}[/mm] sind x, y und z.
>
> Ich bekomme gar keine Idee... Wahrscheinlich ist die
> Antwort banal... Ich denke, es müsste über die
> Rechenregeln des Kreuzproduktes gehen - ich finde, der
> gegebene Hinweis deutet das an. Aber ich weiß es einfach
> nicht!
Es geht zum einen über das, was du Rechenregeln</i >nennst und was in Wirklichkeit die <i>Definition des Kreuzproduktes ist (es ist sehr wichtig, diesen Unterschied im Hinterkopf zu haben).
Wenn du dich allerdings daran erinnern magst, dass das Kreuzprodukt gleich drei herausragende geometrische Eigenschaften beitzt, u.a., dass es auf den beiden Vektoren, aus denen es sich zusammensetzt, senkrecht steht, dann kannst du dir die Antwort auf die Frage rein geometrisch überlegen und dann rechnerisch nachweisen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Nellie |
| Aufgabe | Welches geometrische Objekt wird durch die Gleichung [mm] \vec{x} [/mm] x [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] x [mm] \vec{a} [/mm] bestimmt, wobei [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] feste Vektoren?
Hinweis: Eigentlich sind das drei Gleichungen. Warum? |
Hallo Diophant,
vielen Dank für Deine Antwort!!
Danke auch für den Hinweis, dass es sich statt um Rechenregeln um die Definition des Kreuzproduktes handelt!
Ja, das Kreuzprodukt bildet geometrisch ein Parallelogramm im dreidimensionalen Raum, also einen Spat. Das kann ich mir auch gut vorstellen. Könntest Du mir vielleicht dennoch noch einen Tipp geben, wie ich auf die dritte Gleichung kommen könnte? - siehe Aufgabenstellung: Eigentlich sollen es drei Gleichungen sein. Ich komme auf jeden Fall bislang nicht weiter über die Eigenschaften des Kreuzproduktes... Habe beispielsweise so etwas probiert: [mm] (\vec{x} [/mm] + [mm] \vec{b}) [/mm] x [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] (\vec{x} [/mm] x [mm] \vec{a}) [/mm] + [mm] (\vec{b} [/mm] x [mm] \vec{a}). [/mm] Aber das hilft mir ja leider gar nicht...
Danke!!
Nellie
>Es geht zum einen über das, was du Rechenregeln</i >nennst und was in Wirklichkeit die <i>Definition des >Kreuzproduktes ist (es ist sehr wichtig, diesen >Unterschied im Hinterkopf zu haben).
>Wenn du dich allerdings daran erinnern magst, dass das >Kreuzprodukt gleich drei herausragende geometrische >Eigenschaften beitzt, u.a., dass es auf den beiden >Vektoren, aus denen es sich zusammensetzt, senkrecht >steht, dann kannst du dir die Antwort auf die Frage rein >geometrisch überlegen und dann rechnerisch nachweisen.
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Hallo,
zunächst: du musst die Aufgabe nicht bei jeder Rückfrage erneut einstellen (nicht das es verboten wäre, aber so flexibel, ein wenig nach oben zu scrollen, sind wir hier alle  ).
Dann: du hast da etwas nicht ganz verstanden. Das Kreuzprodukt bildet keinen Spat. Sondern es gilt für [mm] \vec{a}, \vec{b}\ne\vec{0} [/mm] grundsätzlich
[mm](\vec{a}\times\vec{b} \perp \vec{a}) \wedge (\vec{a}\times\vec{b} \perp \vec{b})[/mm]
Mache auch hier mal folgendes: bringe alles auf eine Seite und nutze die Antikommutativität des Kreuzprodukts aus. Rechts steht dann der Nullvektor, und was bedeutet der für ein Kreuzprodukt (also wenn er Resultat des Kreuzprodukts ist)?
Das LGS bekommst du mit viel Schreibarabeit durch Einsetzen in die Definition:
[mm] a_3x_2-a_2x_3=a_3b_2-a_2b_3
[/mm]
[mm] a_1x_3-a_3x_1=a_1b_3-a_3b_1
[/mm]
[mm] a_2x_1-a_1x_2=a_2b_1-a_1b_2
[/mm]
Das ist ein 3x3-LGS. INteressant ist die Struktur seiner Lösungsmenge, xoviel sei schon einmal gesagt und das ist ein versteckter Tipp!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Nellie |
Hallo Diophant,
vielen Dank für Deine Antwort!!
Es geht mir leider doch einen Tacken (mindestens...) zu schnell noch... Sorry... :(
Du meinst, ich solle alles auf eine Seite bringen. Das ergibt:
[mm] \vec{x} [/mm] x [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b} [/mm] x [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Du schlägst vor, dass ich hier die Antikommutativität des Kreuzproduktes - also [mm] \vec{a} [/mm] x [mm] \vec{b} [/mm] = - [mm] (\vec{b} [/mm] x [mm] \vec{a}) [/mm] ausnutzen könnte. Wie denn? Ich habe doch drei verschiedene Vektoren [mm] \vec{x}, \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] und nicht zwei verschiedene Vektoren.
Wenn ein Kreuzprodukt einen Nullvektor ergibt, dann sind die beiden das Kreuzprodukt bildenden Vektoren linear abhängig, parallel zueinander, der Winkel zwischen ihnen 0 Grad.
Gut, aber was hat das mit meiner Aufgabe zu tun? ... sorry ...
Ich habe dann diese von Dir vorgeschlagene (wenn ich das richtig verstanden habe) Gleichung berechnet:
[mm] \vec{x} [/mm] x [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b} [/mm] x [mm] \vec{a}
[/mm]
Das ergibt
$ [mm] x_2a_3-x_3a_2 [/mm] - [mm] (b_2a_3-b_3a_2) [/mm] $
$ [mm] x_3a_1-x_1a_3 [/mm] - [mm] (b_3a_1-b_1a_3) [/mm] $
$ [mm] x_1a_2-x_2a_1 [/mm] - [mm] (b_1a_2-b_2a_1) [/mm] $
Hm... Da kann ich leider auch nichts mit anfangen...
Sag bitte, wenn sich das hoffnungslos mit mir anfühlt! :)
Lieben Gruß,
Nellie
Dann: du hast da etwas nicht ganz verstanden. Das Kreuzprodukt bildet keinen Spat. Sondern es gilt für $ [mm] \vec{a}, \vec{b}\ne\vec{0} [/mm] $ grundsätzlich
$ [mm] (\vec{a}\times\vec{b} \perp \vec{a}) \wedge (\vec{a}\times\vec{b} \perp \vec{b}) [/mm] $
Mache auch hier mal folgendes: bringe alles auf eine Seite und nutze die Antikommutativität des Kreuzprodukts aus. Rechts steht dann der Nullvektor, und was bedeutet der für ein Kreuzprodukt (also wenn er Resultat des Kreuzprodukts ist)?
Das LGS bekommst du mit viel Schreibarabeit durch Einsetzen in die Definition:
$ [mm] a_3x_2-a_2x_3=a_3b_2-a_2b_3 [/mm] $
$ [mm] a_1x_3-a_3x_1=a_1b_3-a_3b_1 [/mm] $
$ [mm] a_2x_1-a_1x_2=a_2b_1-a_1b_2 [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Nellie |
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Hallo,
> Hallo Diophant,
>
> vielen Dank für Deine Antwort!!
> Es geht mir leider doch einen Tacken (mindestens...) zu
> schnell noch... Sorry... :(
>
> Du meinst, ich solle alles auf eine Seite bringen. Das
> ergibt:
> [mm]\vec{x}[/mm] x [mm]\vec{a}[/mm] - [mm]\vec{b}[/mm] x [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
> Du schlägst vor, dass ich hier die Antikommutativität
> des Kreuzproduktes - also [mm]\vec{a}[/mm] x [mm]\vec{b}[/mm] = - [mm](\vec{b}[/mm] x
> [mm]\vec{a})[/mm] ausnutzen könnte. Wie denn? Ich habe doch drei
> verschiedene Vektoren [mm]\vec{x}, \vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] und
> nicht zwei verschiedene Vektoren.
Sorry, hier habe ich einen Fehler gemacht. Die Antikommutativität braucht man natürlich nicht mehr, sondern die Bilinearität (also wenn du so willst, das 'Distributivgesetz').
> Wenn ein Kreuzprodukt einen Nullvektor ergibt, dann sind
> die beiden das Kreuzprodukt bildenden Vektoren linear
> abhängig, parallel zueinander, der Winkel zwischen ihnen 0
> Grad.
> Gut, aber was hat das mit meiner Aufgabe zu tun? ... sorry
> ...
Viel. [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] sind ja hier wieder feste Vektoren, [mm] \vec{x} [/mm] steht für die beschriebene Punktmenge.
>
> Ich habe dann diese von Dir vorgeschlagene (wenn ich das
> richtig verstanden habe) Gleichung berechnet:
> [mm]\vec{x}[/mm] x [mm]\vec{a}[/mm] - [mm]\vec{b}[/mm] x [mm]\vec{a}[/mm]
>
> Das ergibt
> [mm]x_2a_3-x_3a_2 - (b_2a_3-b_3a_2)[/mm]
> [mm]x_3a_1-x_1a_3 - (b_3a_1-b_1a_3)[/mm]
>
> [mm]x_1a_2-x_2a_1 - (b_1a_2-b_2a_1)[/mm]
> Hm... Da kann ich leider
> auch nichts mit anfangen...
>
> Sag bitte, wenn sich das hoffnungslos mit mir anfühlt! :)
Nein, das ist doch das Gegenteil von hoffnungslos: du machst dir Gedanken, probierst Dinge aus und evaluierst es auch für dich, genau so muss man an die Mathematik herangehen.
Du musst das LGS nicht umformen, denn du hast auf der rechten Seite ja schon den Ergebnisvektor stehen. Es ist eine ziemlich mühselige (Schreib-)Arbeit: aber man kann zeigen, dass das LGS eine lineare Abhängigkeit besitzt, so dass man zur Darstellung der Lösungsmenge einen Parameter bräuchte...
Für welche einschlägig bekannte Punktmenge in der Linearen Algebra gilt das denn auch?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Nellie |
Hallo,
tja... Dein letzter Satz suggeriert, dass ich auf dem Schlauch stehe... ;)
Vielen Dank aber für Deine Antwort!!
Also noch einmal:
Es geht um die Gleichung
[mm] \vec{x} [/mm] x [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] x [mm] \vec{a}
[/mm]
und die Frage, welches geometrische Objekt durch diese Gleichung bestimmt ist.
Du schlägst vor: umstellen und Bilinearität bzw. Distributivgesetz ausnutzen: Mache ich:
[mm] \vec{x} [/mm] x [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] (\vec{b} [/mm] x [mm] \vec{a}) [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
[mm] \gdw \vec{a} [/mm] x [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{b}) [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm]
Die rechte Klammer auf der linken Seite aufgelöst ergibt:
[mm] $(x_1 [/mm] - [mm] b_1)
[/mm]
[mm] $(x_2 [/mm] - [mm] b_2)
[/mm]
[mm] $(x_3 [/mm] - [mm] b_3)
[/mm]
Eingesetzt und das Kreuzprodukt aufgelöst:
$ [mm] a_2(x_3-b_3) [/mm] - [mm] (a_3(x_2-b_2) [/mm] = 0 $
$ [mm] a_3(x_1-b_1) [/mm] - [mm] (a_1(x_3-b_3) [/mm] = 0 $
$ [mm] a_1(x_2-b_2) [/mm] - [mm] (a_2(x_1-b_1) [/mm] = 0 $
Gehe ich soweit richtig vor?
Und wenn ja: Für diese Gleichung gibt es dann eine Lösung, die eine einschlägig bekannte Punktmenge in der Linearen Algebra darstellt?
Weiteres Vorgehen wäre jetzt ja: drei Gleichungen mit drei Unbekannten, auflösen je nach den Unbekannten, einsetzen, umformen, am Ende hat man die Lösung für die drei Unbekannten.
Meine Frage ist nur: Was hilft mir das für die Ausgangsfrage, also, was hilft mir das in der Suche nach dem geometrischen Objekt?
Lieben Gruß!
Nellie
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Hallo,
hm, noch ein 'Schubs-Versuch': die Umformung mit der Bilinearität habe ich gemeint. Jetzt steht da ein Kreuzprodukt aus
- einem festen Vektor [mm] \vec{a}
[/mm]
- einem veränderlichen Vektor [mm] \vec{x}-\vec{b}
[/mm]
Das Kreuzprodukt ergibt in jedem Fall den Nullvektor, also muss der zweite Vektor unabhängig von der konkreten Wahl von x stets parallel zu [mm] \vec{a} [/mm] sein. Und eine Differenz ist nun einmal stets eine Verbindung zwischen zwei Punkten. Das bedeutet wiederum: egal wie man [mm] \vec{x} [/mm] wählt, der Vektor [mm] \overrightarrow{BX} [/mm] hat immer die selbe Richtung.
Mehr verrate ich aber nicht.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Nellie |
Hey,
mal kurz essen, einkaufen. Ausruhen auch! :)
Also ich habe den Eindruck, dass ich es bis zum aktuellen Punkt gut verstehe. Nun ist ja die Frage nach dem geometrischen Objekt, das durch diese Gleichung gebildet wird...
Also [mm] \vec{a} [/mm] liegt fest irgendwo im Raum. Der Vektor zur Subtraktion [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{b}) [/mm] liegt wegen [mm] \vec{x} [/mm] variabel im Raum, aber auf jeden Fall parallel zu [mm] \vec{a}, [/mm] weil ja das Kreuzprodukt der beiden Variablen den Nullvektor ergibt.
Nun sind meine beiden Zeigefinger die Vektoren. Das geht doch, oder? Und nun kann ich den linken Zeigefinger bei mir in meinem Zimmer halten und den rechten Zeigefinger in paralleler Haltung zum Mond beamen und ja, die Bedingung der Parallelität wäre genauso erfüllt, als wenn ich meinen rechten Zeigefinger parallel zum linken in meinem Zimmer behielte. Lediglich wenn der Winkel zwischen diesen beiden Zeigefingern nicht mehr 0 Grad ist, dann sind sie nicht mehr parallel. Und dann stimmt die Gleichung nicht mehr bzw. also es ergibt sich dann nicht mehr der Nullvektor. Aber weißt Du, ich kann mir nicht vorstellen, dass die Antwort auf die Frage nach dem geometrischen Objekt die Unendlichkeit ist... Also dafür ist der Mathelehrstuhl viel zu geerdet, als dass er solche Aufgaben stellen würde. Wo ist denn aber mein Denkfehler? Es macht doch Sinn, was ich beschreibe, oder?
Vielen vielen Dank!
Nellie
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Hallo,
mit der Unendlichkeit operiert man in der höheren Mathematik ständig und ohne viel Federlesen zu machen.
Aber das Wesentliche hier ist die Frage: wenn du von einem festen Punkt aus immer in die gleiche Richtung gehst, mal vor, mal zurück und beliebig weit, wie nennt man das Objekt, auf dem du dich auf jeden Fall befindest?
Wenn du das beantwortet hast, bist du auf einer Art von Zielgeraden.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Nellie |
Vielen lieben Dank!! :)
Nellie
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