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| Aufgabe | Der griech. Philosoph Zenon behauptete, Achilles könnte eine Schildkröte nicht einholen. Sein Argument: Angenommen Achilles laufe 10-mal so schnell wie die Schildkröte und diese habe einen Vorsprung von 185 Metern. Wenn A. diese Strecke zurückgelegt habe, sei die Schildkröte erneuert 1/10 dieser Strecke weitergekrochen usw. Die Schildkröte habe also immer einen Vorsprung!
a.) Zeige, dass die Längen der jeweiligen Vorsprünge der Schildkröte eine geometrische Folge bilden.
b.) Zeige, dass der Summenwert der zugehörigen geometrische Reihe gleich der Länge des Weges ist, den die Schildkröte bis zum Einholen zurückgelegt hat.
c.) Wie ist die Argumentation von Zenon zu beurteilen? |
Hallo, könnte ihr mir weiterhelfen?
Bei Aufgabe a.) hab ich folgendes gemacht, ist das richtig?:
[mm] a_{1}=185 [/mm] m
[mm] a_{2}=a_{1}*1/10^2
[/mm]
[mm] a_{3}=a_{1}*1/10^3
[/mm]
[mm] a_{4}=a_{1}*1/10^4
[/mm]
[mm] a_{5}=a_{1}=1/10^5
[/mm]
Könnt ihr mir bei Aufgabe b zeigen wie man das rechnet? Ich weiss nicht weiter!Danke im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Bei a) würde ich sagen [mm] a_{n}=185*(\bruch{11}{10})^{n-1}.
[/mm]
Wenn es nur [mm] \bruch{1}{10} [/mm] wäre, würde der Weg immer kleiner werden!
Dann müsstets du zeigen, dass der Quotient aus einem Folgenglied und dem Davor immer die selbe Zahl ergibt.
Das kannst du allgemein so machen: [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n-1}}=\bruch{185*(\bruch{11}{10})^{n-1}}{185*(\bruch{11}{10})^{n-2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{11}{10}^{n-1}}{\bruch{11}{10}^{n-2}}
[/mm]
(Potenzgesetz: [mm] a^{n-1}=\bruch{a^{n}}{a^{1}})
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{\bruch{11}{10}^{n}}{\bruch{11}{10}^{1}}}{\bruch{\bruch{11}{10}^{n}}{\bruch{11}{10}^{2}}}
[/mm]
(man das ist ja schrecklich ;))
[mm] \bruch{11}{10}^{n} [/mm] kürzt sich weg und stehen bleibt:
[mm] \bruch{\bruch{11}{10}^{1}}{\bruch{11}{10}^{2}}=\bruch{1}{\bruch{11}{10}}=\bruch{10}{11}... [/mm] puh.
(um jeden Bruch sollte eine Klammer stehen, aber ich seh jetzt shcon kaum noch durch den Quelltext durch XD)
Damit ist nur gezeigt, dass zwischen jedem Folgenglied der selbe Quotient ist. Das ist ja das ausschlaggebende einer geometrischen Folge!
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Hallo!
Erst mal danke für die schnelle Antwort!
Aber wenn bei a.) der Weg wegen 1/10 kleiner wird, warum ist das dann falsch? Der wird doch auch kleiner, oder nicht?
Bei b.) kommt dann ja 11/10 heraus, wie kann ich dann ausrechnen, ob der Summenwert der zugehörige geom. Reihe gleich der Länge des Weges ist, den die Schildkröte bis zum überholen zurückgelegt hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hm, naja ich habe auch etwas gerätselt... aber es könnte auch sein, dass meine Lösung jetzt für b) zutriff, wie du gesagt hast. Aber immerhin trifft sie auf irgendwas zu ;). Dann ist a) sicher richtig so wie du es gemacht hast. Aber das 1. Folgenglied müsste dann [mm] a_{1}=185*\bruch{1}{10} [/mm] sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Mi 20.09.2006 | | Autor: | ullim |
Also, der zurückgelegte Weg der Schildkröte ist immer [mm] \bruch{1}{10} [/mm] des letzten Weges. [mm] \Rightarrow [/mm]
mit a = 185 m das der gesamte zurückgelegte Weg der Schildkröte
s = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a*(\bruch{1}{10})^i [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} a*(\bruch{1}{10})^i [/mm] - a = [mm] a*(\bruch{1}{1-\bruch{1}{10}}-1) [/mm] = [mm] a*\bruch{1}{9} [/mm] beträgt.
Da die Summe konvergiert, ist (b) ist bewiesen.
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Hallo,
kannst du mir erklären, was damit gemeint ist: Da die Summe konvergiert ist b.) bewiesen? Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Mi 20.09.2006 | | Autor: | ullim |
Sei v die Geschwindigkeit von Achilles und a der Vorsprung der Schildkröte. Dann braucht die Schildkröte
[mm] t_s [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{a}{9}}{\bruch{v}{10}} [/mm] = [mm] \bruch{10*a}{9*v} [/mm] Zeiteinheiten um ihre Strecke zurückzulegen.
Achilles hat in dieser Zeit eine Strecke von [mm] v*t_s [/mm] = [mm] \bruch{10}{9}*a [/mm] zurückgelegt.
Die Schildkröte befindet sich auf Grund des Vorsprungs ebenfalls an der Stelle [mm] \bruch{1}{9}*a+a [/mm] = [mm] \bruch{10}{9}*a [/mm]
d.h. Achilles und die Schildkröte befinden sich zur gleichen Zeit am gleichen Ort.
In obigem Bewies ist jedesmal dort die Konvergenz der Summe eingegangen, wo von der Größe [mm] \bruch{a}{9} [/mm] Gebrauch gemacht wurde.
Genügt das?
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:22 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Kathy2212 |
Ja, danke! Das reicht, jetzt habe ich das verstanden! Mfg Kathy
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