Geometrische Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Do 15.12.2011 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben ist folgende Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] (x+ [mm] \bruch{1}{i})^{2i}
[/mm]
Entscheiden Sie, ob diese Reihe einen Grenzwert besitzt (ob sie konvergiert oder nicht). |
Moin moin!
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] (x+ [mm] \bruch{1}{i})^{2i}
[/mm]
angeblich soll es sich hier um eine geometrische Reihe handeln, dies kann ich aber nicht erkennen.
Warum ist das eine geometrische Reihe?
Für eine geometrische Reihe muss gelten:
Es gibt ein q, das sich berechnen lässt mit
q = [mm] \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] = | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] |
Dann gilt: [mm] \summe_{i=0}^{n} q^i [/mm] = [mm] \bruch{1}{1- q} [/mm] **korrigiert**
Ich bilde
[mm] a_n [/mm] = (x + [mm] \bruch{1}{n})^{2n}
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = (x + [mm] \bruch{1}{n+1})^{2*(n+1)}
[/mm]
Ich ziehe die n-te Wurzel aus [mm] a_n [/mm] und die (n+1)-te Wurzel aus [mm] a_{n+1} [/mm]
und erhalte verschiedene Ergebnise, oder nicht???
q = [mm] \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] = (x + [mm] \bruch{1}{n})^2
[/mm]
q = [mm] \wurzel[n+1]{|a_{n+1}|} [/mm] = (x+ [mm] \bruch{1}{n+1})^2
[/mm]
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist folgende Reihe
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> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}[/mm] (x+ [mm]\bruch{1}{i})^{2i}[/mm]
>
> Entscheiden Sie, ob diese Reihe einen Grenzwert besitzt (ob
> sie konvergiert oder nicht).
> Moin moin!
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}[/mm] (x+ [mm]\bruch{1}{i})^{2i}[/mm]
>
>
> angeblich soll es sich hier um eine geometrische Reihe
> handeln, dies kann ich aber nicht erkennen.
Ich auch nicht.
>
> Warum ist das eine geometrische Reihe?
Es ist keine !
>
>
> Für eine geometrische Reihe muss gelten:
>
> Es gibt ein q, das sich berechnen lässt mit
>
> q = [mm]\wurzel[n]{|a_n|}[/mm] = | [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] |
Oh weh. Da geht aber mächtig viel durch einander !!!
>
>
> Dann gilt: [mm]\summe_{i=1}^{n} q^i[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-i}[/mm]
Jetzt mal langsam . Da stimmt vieles nicht !! Wenn Du abschreibst, gehts dann fehlerfrei ?
Die Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty}q^i [/mm] heißt geometrische Reihe.
Sie konvergiert genau dann, wenn |q|<1 ist.
In diesem Fall ist: [mm] \summe_{i=0}^{\infty}q^i =\bruch{1}{1-q}
[/mm]
>
>
> Ich bilde
>
> [mm]a_n[/mm] = (x + [mm]\bruch{1}{n})^{2n}[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] = (x + [mm]\bruch{1}{n+1})^{2*(n+1)}[/mm]
>
>
> Ich ziehe die n-te Wurzel aus [mm]a_n[/mm] und die (n+1)-te Wurzel
> aus [mm]a_{n+1}[/mm]
>
> und erhalte verschiedene Ergebnise, oder nicht???
Ach du liebe Zeit. Ich vermute Du steckst das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium in einen Sack und kloppst mit einem Baseballschläger drauf. Wundere Dich nicht, wenn der FRED "aua" schreit.
>
>
> q = [mm]\wurzel[n]{|a_n|}[/mm] = (x + [mm]\bruch{1}{n})^2[/mm]
>
> q = [mm]\wurzel[n+1]{|a_{n+1}|}[/mm] = (x+ [mm]\bruch{1}{n+1})^2[/mm]
>
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
Wir machen das mal mit dem Wurzelkriterium:
$ [mm] a_n [/mm] : = (x + [mm] \bruch{1}{n})^{2n} [/mm] $
Dann ist $ [mm] \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] = |x+ [mm] \bruch{1}{n}|^2 \to |x|^2=x^2$ [/mm] für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Ist also |x|<1, so ist die Reihe konvergent und ist |x|>1 so ist die Reihe divergent.
So, Du untersuchst jetzt noch die Fälle x=1 und x=-1
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Do 15.12.2011 | | Autor: | hase-hh |
> > Für eine geometrische Reihe muss gelten:
> >
> > Es gibt ein q, das sich berechnen lässt mit
> >
> > q = [mm]\wurzel[n]{|a_n|}[/mm] = | [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] |
>
>
> Oh weh. Da geht aber mächtig viel durch einander !!!
> >
> >
> > Dann gilt: [mm]\summe_{i=1}^{n} q^i[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-i}[/mm]
>
> Jetzt mal langsam . Da stimmt vieles nicht !! Wenn Du
> abschreibst, gehts dann fehlerfrei ?
hab ich korrigiert...
>
> Die Reihe [mm]\summe_{i=0}^{\infty}q^i[/mm] heißt geometrische
> Reihe.
>
> Sie konvergiert genau dann, wenn |q|<1 ist.
>
> In diesem Fall ist: [mm]\summe_{i=0}^{\infty}q^i =\bruch{1}{1-q}[/mm]
>
> >
> >
> > Ich bilde
> >
> > [mm]a_n[/mm] = (x + [mm]\bruch{1}{n})^{2n}[/mm]
> >
> > [mm]a_{n+1}[/mm] = (x + [mm]\bruch{1}{n+1})^{2*(n+1)}[/mm]
> >
> >
> > Ich ziehe die n-te Wurzel aus [mm]a_n[/mm] und die (n+1)-te Wurzel
> > aus [mm]a_{n+1}[/mm]
> >
> > und erhalte verschiedene Ergebnise, oder nicht???
>
> Ach du liebe Zeit. Ich vermute Du steckst das
> Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium in einen Sack
> und kloppst mit einem Baseballschläger drauf. Wundere Dich
> nicht, wenn der FRED "aua" schreit.
Ok, das scheint ja ein Verständnisfehler zu sein...
Das Wurzelkriterium ergibt als Ergebnis also nicht q, sondern einen anderen Wert (nennen wir ihn p), für den gilt:
[mm] \wurzel[n]{ |a_n |} [/mm] = |p| und davon bilde ich noch den Grenzwert für
n -> [mm] \infty [/mm] ?!
= r
richtig?
Dann
[mm] \summe_{i=1}^{n} r^i [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-r}
[/mm]
Wann kann ich das Wurzelkriterium anwenden? Spielt es eine Rolle, ob die Reihe geometrisch ist oder nicht? Gilt die Formel nur für bestimmte Reihen?
> Wir machen das mal mit dem Wurzelkriterium:
>
> [mm]a_n : = (x + \bruch{1}{n})^{2n}[/mm]
>
> Dann ist [mm]\wurzel[n]{|a_n|} = |x+ \bruch{1}{n}|^2 \to |x|^2=x^2[/mm]
> für n [mm]\to \infty.[/mm]
>
> Ist also |x|<1, so ist die Reihe konvergent und ist |x|>1
> so ist die Reihe divergent.
> So, Du untersuchst jetzt noch die Fälle x=1 und x=-1
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Do 15.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deinem kopf herrscht ziemliches durcheinander:
1. lies bitte nach, wie man den Konvergenzradius einer reihe bestimmt. nur wenn r=1 ist gilt zufällig
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_n, weil 1/1=1}
[/mm]
2.Du schreibst
Dann
$ [mm] \summe_{i=1}^{n} r^i [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{1-r} [/mm] $
wie kommst du darauf? du hattest z. bsp hier r=1 was käme dann bei deiner komischen Reihe raus? und was soll die überhaupt?
3. für die geom. Reihe braucht man kein "Kriterium" man weiss, dass sie für |q|<1 konvergiert! (warum?)
das Wurzelkriterium und Quotientenkriterium gilt für alle Reihen, wo man es anwenden kann.
aus den Kriterien kommt dann auch der Begriff des Konvergenzradius.
Beim BEWEIS der Kriterien benutzt man oft das Wissen um die Konvergenz der geom. Reihe.
irgendwie hast du das alles durcheinander gebracht!
versuch noch mal die Begriffe zu klären, denn deine fragen deuten daraufhin dass du wenig verstanden hast.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Do 15.12.2011 | | Autor: | hase-hh |
Guten Abend,
ich probiere mal, die Lösungsschritte zu beschreiben.
1. Ich verwende das "Wurzelkriterium"
[mm] \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] = [mm] |\wurzel[n]{(x + \bruch{1}{n})^{2n}|}
[/mm]
= (x + [mm] \bruch{1}{n})^2
[/mm]
2. Dann bilde ich den Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (x + [mm] \bruch{1}{n})^2
[/mm]
= (x + 0 [mm] )^2
[/mm]
3. Erst dann habe ich einen Ausdruck der Form
[mm] \summe_{i=0}^{n} r^i [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-r}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{1-x^2} [/mm] **korrigiert**
4. Schlüsse ziehen
Unabhängig davon, ob die Reihe geometrisch ist oder nicht, kann man dieses Verfahren anwenden, wenn man das Ganze auf die Form bringen kann [mm] \summe_{i=0}^{n} r^i [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Fr 16.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Guten Abend,
>
> ich probiere mal, die Lösungsschritte zu beschreiben.
>
> 1. Ich verwende das "Wurzelkriterium"
>
> [mm]\wurzel[n]{|a_n|}[/mm] = [mm]|\wurzel[n]{(x + \bruch{1}{n})^{2n}|}[/mm]
>
> = (x + [mm]\bruch{1}{n})^2[/mm]
jetzt weisst du, wenn ab irgend einem festen n
(x + [mm]\bruch{1}{n})^2\le q<1 ist dann konvergiert die Reihe
> 2. Dann bilde ich den Grenzwert
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (x + [mm]\bruch{1}{n})^2[/mm]
dann kennst du den Konvergenzradius r=1/\limsup_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> = (x + 0 [mm])^2[/mm]
>
>
> 3. Erst dann habe ich einen Ausdruck der Form
Nein diesen ausdruck hast du NICHT!
wenn du r hast, weisst du dass es eine geometrische Reihe gibt, dei ab einem festen n majorante zu deiner reihe ist. aber deine Reihe ist nicht eine geometrische reihe und man kann sie deshalb nicht so schreiben!
> [mm]\summe_{i=0}^{n} r^i[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-r}[/mm]
>
>
> = [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm]
und dieses x hier macht noch weniger Sinn.
>
> 4. Schlüsse ziehen
>
>
> Unabhängig davon, ob die Reihe geometrisch ist oder nicht,
> kann man dieses Verfahren anwenden, wenn man das Ganze auf
> die Form bringen kann [mm]\summe_{i=0}^{n} r^i[/mm]
Nein, i.A. kann man es nicht auf die form bringen, das hat dir fred schon im ersten post gesagt! du hast nur gezeigt, dass die Reihe für |x|<1 konvergiert!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 Do 15.12.2011 | | Autor: | hase-hh |
> 2.Du schreibst
> Dann
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} r^i[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-r}[/mm]
>
> wie kommst du darauf? du hattest z. bsp hier r=1 was käme
> dann bei deiner komischen Reihe raus? und was soll die
> überhaupt?
Die Formel macht doch ohnehin nur Sinn, wenn r [mm] \not= [/mm] 1 ist. Das wird hier stillschweigend vorausgesetzt. Bei den anderen Aufgaben ist dies doch genauso.
Gehe allerdings jetzt davon aus, dass gemeint war
[mm] \summe_{i=0}^{n} r^i [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-r}
[/mm]
> 3. für die geom. Reihe braucht man kein "Kriterium" man
> weiss, dass sie für |q|<1 konvergiert! (warum?)
> das Wurzelkriterium und Quotientenkriterium gilt für alle
> Reihen, wo man es anwenden kann.
> aus den Kriterien kommt dann auch der Begriff des
> Konvergenzradius.
> Beim BEWEIS der Kriterien benutzt man oft das Wissen um
> die Konvergenz der geom. Reihe.
> irgendwie hast du das alles durcheinander gebracht!
> versuch noch mal die Begriffe zu klären, denn deine
> fragen deuten daraufhin dass du wenig verstanden hast.
> gruss leduart
Wenn mir die Lösung der Aufgabe klar wäre, dann würde ich hier nicht fragen; selbstverständlich in einer gewissen Unklarheit. Wie sonst?
gruß hase-hh
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
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>
> Dann gilt: [mm]\summe_{i=1}^{n} q^i[/mm] = [mm]\bruch{1}{1- q}[/mm]
> **korrigiert**
>
>
>
Das ist immer noch falsch !
FRED
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