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| Aufgabe | Eine zweite Variante der geometrischen Verteilung lautet
[mm] \IP(X=k)=(1-p)^{k-1}p, [/mm] p [mm] \in [/mm] (0,1), k [mm] \in \IN.
[/mm]
("Wahrscheinlichkeit, dass k Versuche bis zum ersten Erfolg benötigt werden.")
Wir schreiben Y [mm] \sim [/mm] Geo2(p) für eine gemäß Variante 2 verteilte Zufallsvariable.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Y durch j teilbar ist, für ein j [mm] \in \IN.
[/mm]
Berechnen Sie konkret für Y [mm] \sim [/mm] Geo2(0.5) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Y durch 5 teilbar ist. |
Hallo,
habe die Aufgabe bearbeitet, leider kommt jedoch ziemlicher Unsinn heraus.
[mm] \IP(\{\mbox{Y durch j teilbar}\})=\sum_{n \in \IN}\IP(X=n*j), [/mm] denn es kann gelten: Y = j, Y = 2j, Y = 3j, usw..
= [mm] \sum_{n \in \IN}p(1-p)^{n*j-1}
[/mm]
= [mm] \sum_{n \in \IN}p(1-p)^{-1}(1-p)^{n*j}
[/mm]
= [mm] \bruch{p}{1-p}\sum_{n \in \IN}(1-p)^{n*j}
[/mm]
= [mm] \bruch{p}{1-p}\sum_{n \in \IN}[(1-p)^{j}]^{n}
[/mm]
Sei [mm] q:=(1-p)^{j}, [/mm] dann
= [mm] \bruch{p}{1-p}\sum_{n \in \IN} q^{n}
[/mm]
Da |q|<1, folgt
[mm] \bruch{p}{1-p}\sum_{n \in \IN}q^{n} [/mm] = [mm] \bruch{p}{1-p}*\bruch{1}{1-q} [/mm] (geometrische Reihe)
= [mm] \bruch{p}{1-p}*\bruch{1}{1-(1-p)^{j}}
[/mm]
Nun die konkrete Berechnung für p=0.5, j=5:
[mm] \IP(\{\mbox{Y durch 5 teilbar}\})=\bruch{0.5}{1-0.5}*\bruch{1}{1-(1-0.5)^{5}}=\bruch{1}{1-\bruch{1}{32}}=\bruch{1}{\bruch{31}{32}}=\bruch{32}{31}>1
[/mm]
Also hier kann ja etwas nicht stimmen. Nur bis jetzt ist mir der Fehler nicht aufgefallen. Sieht ihn jemand? 
LG
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Hiho,
sieht alles gut aus, du machst nur einen Fehler, auf den man erstmal kommen muss.
Es zwei Möglichkeiten in der Mathematik, was [mm] \IN [/mm] ist.
Einmal gilt: [mm] $\IN [/mm] = [mm] \{1,2,\ldots\}$ [/mm] und einmal [mm] $\IN [/mm] = [mm] \{0,1,2,\ldots\}$
[/mm]
Du verwendest in der gleichen Aufgabe einmal die eine Definition und einmal die andere, was natürlich nicht funktioniert.
Findest du die Stelle selbst und welche Definition solltest du verwenden?
Tipp: Für welche Definition von [mm] \IN [/mm] ist [mm] \IP [/mm] für dich ein W-Maß?
Gruß,
Gono.
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Hey, danke auf diesen Fehler wäre ich wohl nicht gekommen
Ok, dann nochmal:
[mm] \IP(\{\mbox{Y durch j teilbar}\})=\sum_{n=1}^{\infty}\IP(Y=n*j)
[/mm]
= [mm] \sum_{n=1}^{\infty}p(1-p)^{n*j-1}
[/mm]
[mm] =\sum_{n=1}^{\infty}p(1-p)^{-1}(1-p)^{n*j}
[/mm]
[mm] =\bruch{p}{1-p}\sum_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n*j}
[/mm]
Sei [mm] q:=(1-p)^{j}
[/mm]
[mm] =\bruch{p}{1-p}\sum_{n=1}^{\infty}q^{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{p}{1-p}q\sum_{n=0}^{\infty}q^{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{p(1-p)^{j}}{1-p}*\bruch{1}{1-(1-p)^{j}}
[/mm]
[mm] =\bruch{p(1-p)^{j-1}}{1-(1-p)^{j}}
[/mm]
Nun für p=0.5 und j=5:
[mm] \IP(\{\mbox{Y durch 5 teilbar}\})=\bruch{0.5(1-0.5)^{4}}{1-(1-0.5)^{5}}=\bruch{\bruch{1}{32}}{\bruch{31}{32}}=\bruch{1}{31}
[/mm]
Das Ergebnis sieht schon mal richtiger aus
Vielen Dank!
LG
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Hiho,
sieht gut aus
Gruß,
Gono.
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