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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Sa 08.05.2010 | | Autor: | qwertzi |
Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Sei X geometrisch verteilt mit Parameter p.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X durch j teilbar ist, für ein j [mm] \in \IN. [/mm]
Welcher konkrete Wert ergibt sich für p=1/2 und j=5?
Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß was hier genau das X bedeuten soll und wie man das j in die Formel für die geometrische Verteilung einbaut. Es gilt ja
P(X=n)= (1-p)^(n-1)*p. Und nach dieser Formel ist X die Anzahl der "Versuche" eines Experimentes, bis zum ersten Mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eingetreten ist.
In dem Beispiel wäre p=1/2, aber ein n ist nicht vorgegeben. Oder ist in diesem Fall j=n?
Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben, wie man hier anfangen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 So 09.05.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
setze [mm] $n=1,2,3,\dots$, [/mm] also jede natuerliche Zahl.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 So 09.05.2010 | | Autor: | qwertzi |
Aber wenn ich nun das n in die Formel einsetze... Was mach ich dann mit dem j? Das ist mir immer noch nicht klar geworden.
Für größere n wird die Wahrscheinlichkeit kleiner, doch wie hängt das mit der Wahrscheinlichkeit zusammen, dass X durch j teilbar ist und was ist überhaupt genau das X?
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Hallo,
> Aber wenn ich nun das n in die Formel einsetze... Was mach
> ich dann mit dem j? Das ist mir immer noch nicht klar
> geworden.
> Für größere n wird die Wahrscheinlichkeit kleiner, doch
> wie hängt das mit der Wahrscheinlichkeit zusammen, dass X
> durch j teilbar ist und was ist überhaupt genau das X?
X ist deine Zufallsvariable.
Sie nimmt also die Zahlen 1,2,3,... an. (Da X geometrisch verteilt).
Weiter ist, da X geometrisch verteilt, die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert [mm] n\in\IN [/mm] annimmt, gerade
$P(X = n) = [mm] p*(1-p)^{n-1}$.
[/mm]
Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass X durch [mm] j\in\IN [/mm] teilbar ist.
Wenn X durch j teilbar sein soll, heißt das entweder X = j oder X = 2*j oder X = 3*j oder ...
Also:
$P(X\ ist\ durch\ j\ teilbar) = [mm] \sum_{n=1}^{\infty}P(X [/mm] = n*j)$.
Nun bist du dran! Rechne die Summe aus.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 So 09.05.2010 | | Autor: | qwertzi |
Das war schonmal sehr hilfreich, nun habe ich auch verstanden, was überhaupt verlangt ist!
Für die Summe habe ich nun berechnet
[mm] \sum_{n=1}^{\infty}P(X [/mm] = [mm] n\cdot{}j) [/mm] = (1-p)^(j-1)*p* [mm] \sum_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n*j} [/mm]
Dies sieht der unendlichen geometrischen Reihe sehr ähnlich. Wenn sie bei 0 beginnen soll, käme noch der Summand [mm] (1-p)^0=1 [/mm] hinzu, der wieder abgezogen werden müsste. Dies ergäbe dann
(1-p)^(j-1)*p* [mm] (\sum_{n=0}^{\infty}(1-p)^{n*j}-1).
[/mm]
Nun weiß ich allerdings nicht, was ich mit dem j in der Potenz machen soll... Die "normale" unendliche geometrische Reihe ist dies ja nicht, wie kann man diese Summe denn vereinfachen? Oder bin ich mit der unendlichen geometrischen Reihe gar nicht auf dem richtigen Weg?
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Hallo,
> Das war schonmal sehr hilfreich, nun habe ich auch
> verstanden, was überhaupt verlangt ist!
>
> Für die Summe habe ich nun berechnet
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}P(X[/mm] = [mm]n\cdot{}j)[/mm] = (1-p)^(j-1)*p*
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n*j}[/mm]
Ist nicht
$P(X = n*j) = [mm] p*(1-p)^{n*j-1} [/mm] = [mm] p*(1-p)^{-1}*(1-p)^{n*j}$
[/mm]
? Ich komme jedenfalls nicht auf dein j, was du noch vor die Summe geschrieben hast.
Im Folgenden musst du genauso vorgehen, wie du beschrieben hast: Die Summe bei 0 beginnen lassen und stattdessen eine 1 abziehen.
Dann beachte: [mm] $(1-p)^{j*n} [/mm] = [mm] \Big[(1-p)^{j}\Big]^{n}$, [/mm] d.h. du hast eine geometrische Reihe mit $q = [mm] (1-p)^{j}$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 So 09.05.2010 | | Autor: | qwertzi |
Super, damit hat es geklapt!!
Vielleicht könntest du mir auch noch einen Tipp zum Aufgabenteil b) geben. X ist wieder geometrisch verteilt mit Parameter p. Nun sei Z:= (Gaußklammer nach oben geöffnet (X/2)) *2.
Die Fragen sind:
Welche Werte nimmt Z mit positiver Wahrscheinlichkeit an?
--> Ich denke das sind die geraden positiven, ganzen Zahlen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von Z.
--> Da weiß ich nun leider überhaupt nichts mit anzufangen. Wie bildet man eine solche Funktion und wie sieht sie überhaupt aus?
Skizzieren Sie die Werte von P(X=k) und P(Z=k) für p=0.5.
--> Sollen hier die Werte, die angenommen werden in eine Art Koordinatensystem mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit geschrieben werden? Bei P(Z=k) müsste dann der Wert der ungeraden k bei Null sein?!
Kann man hierfür Aufgabenteil a) verwenden?
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Hallo,
> Vielleicht könntest du mir auch noch einen Tipp zum
> Aufgabenteil b) geben. X ist wieder geometrisch verteilt
> mit Parameter p. Nun sei Z:= (Gaußklammer nach oben
> geöffnet (X/2)) *2.
> Die Fragen sind:
>
> Welche Werte nimmt Z mit positiver Wahrscheinlichkeit an?
> --> Ich denke das sind die geraden positiven, ganzen
> Zahlen.
Ich bin mir jetzt gerade nicht sicher, welche ![[]](/images/popup.gif) Gaußklammer du mit "nach oben geöffnet" meinst. Es ist jedenfalls entweder
2,4,6,8,...
oder
0,2,4,6,...
Je nachdem (siehe Wikipedia-Artikel).
> Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von Z.
> --> Da weiß ich nun leider überhaupt nichts mit
> anzufangen. Wie bildet man eine solche Funktion und wie
> sieht sie überhaupt aus?
Ich kannte den Begriff auch nicht. Nach Googeln denke (weiß) ich: Gesucht ist wieder
$P(Z = n) = ...$
D.h. du sollst $P(Z = n)$ ausrechnen (wobei n sinnvollerweise nur 2,4,6,8,... bzw. 0,2,4,6,... sein sollte; für alle anderen natürlichen Zahl nimmt $P(Z = n)$ natürlich den Wert Null an (das solltest du aber trotzdem hinschreiben!)).
Nun schlage ich dir Folgendes als Ansatz vor: Überlege dir, welchen Wert X angenommen haben muss, damit Z den Wert n hatte. Es wird herauskommen, dass für X jeweils zwei mögliche Werte in Frage kommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass Z den Wert n annimmt ist dann gleich der Wahrscheinlichkeit, dass X einen dieser beiden Werte annimmt (ODER, also Wahrscheinlichkeiten addieren).
> Skizzieren Sie die Werte von P(X=k) und P(Z=k) für p=0.5.
> --> Sollen hier die Werte, die angenommen werden in eine
> Art Koordinatensystem mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit
> geschrieben werden? Bei P(Z=k) müsste dann der Wert der
> ungeraden k bei Null sein?!
Genau!
P(X = k) bzw. P(Z = k) sind doch Funktionen in Abhängigkeit von k. Sie ordnen also k eine Wahrscheinlichkeit zu (zwischen Null und Eins). Diese kannst du in einem Graphen (x-Achse = Werte von [mm] k\in\IN, [/mm] y-Achse = Wahrscheinlichkeit P(X=k)) zeichnen.
Wenn du den Teil a) genau verstanden hast, musst du die Werte von P(Z=k) nicht nochmal ausrechnen.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 So 09.05.2010 | | Autor: | qwertzi |
Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Hilfe, das hat mir wirklich gut weiter geholfen!
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