Geometrische Wahrscheinlichkei < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Studi4 |
| Aufgabe | | http://www.mathematik.uni-dortmund.de/didaktik/elestoch/files/bew_kap3.pdf |
1) Auf der zweiten Seite: Warum ist die Fläche des Kreissektors AMH 1/2 [mm] \alpha? [/mm]
2) Auf gleicher Seite ganz unten die letzten beiden Zeilen: wieso ist die Dichtefunktion x und wieso dann 2x die Wahrscheinlichkeit bestimmt?
3) Idee für die Stammfunktion auf Seite drei oberer Teil?
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:09 Di 21.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> http://www.mathematik.uni-dortmund.de/didaktik/elestoch/files/bew_kap3.pdf
> 1) Auf der zweiten Seite: Warum ist die Fläche des
> Kreissektors AMH 1/2 [mm]\alpha?[/mm]
Der Winkel ist im ![[]](/images/popup.gif) Bogenmass angegeben. Wenn der Sektor der ganze Kreis waer, muesst [mm] $\alpha [/mm] = 2 [mm] \pi$ [/mm] sein. Dann ist $2 [mm] \pi$ [/mm] der doppelte Flaecheninhalt des ganzen Kreises (mit Radius 1), und somit ist fuer beliebiges [mm] $\alpha \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]$ [/mm] der Flaecheninhalt des Kreissektors mit [mm] $\frac{\alpha}{2}$ [/mm] gegeben.
(Dass der Radius hier 1 ist seh ich grad nirgendwo stehen. Aber das sollte so sein, ansonsten ist es falsch.)
> 2) Auf gleicher Seite ganz unten die letzten beiden Zeilen:
> wieso ist die Dichtefunktion x und wieso dann 2x die
> Wahrscheinlichkeit bestimmt?
Ich weiss nicht ob nur mein PDF-Reader die Datei falsch anzeigt oder ob einfach die Datei kaputt ist, aber da sollte wohl stehen:
Die Dichtefunktion $f : [0, 1] [mm] \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] 2 x$ bestimmt also die Wahrscheinlichkeit als [mm] $p_1 [/mm] = [mm] \int_{r_1}^{r_2} [/mm] 2 x [mm] \; [/mm] dx$.
Es gibt da noch mehr Sachen die offenbar kaputt sind, etwa direkt davor $1 [mm] \le r_1 [/mm] < [mm] r_2 \le [/mm] 1$. Dies ist niemals erfuellt.
Offenbar handelt es sich um einen Kreis mit Radius 1/2, und es soll $0 [mm] \le r_1 [/mm] < [mm] r_2 \le [/mm] 1/2$ gelten? Ansonsten macht das keinen Sinn.
Oder ist etwa gemeint, dass der Punkt $P$ zufaellig auf dem aeusseren Kreisring landet? (Koennte nach Anfang Seite 1 so sein.) Dann ist die Formel [mm] $\frac{\text{Inhalt des Kreisringes}}{\text{Inhalt des Kreises}}$ [/mm] allerdings falsch, da unten dann ebenfalls ein Kreisring stehen sollte. Und dann sollte es $1/2 [mm] \le r_1 [/mm] < [mm] r_2 \le [/mm] 1$ heissen.
Insgesamt sieht es zumindest so aus als waer da einiges nicht in Ordnung.
> 3) Idee für die Stammfunktion auf Seite drei oberer Teil?
Eine Stammfunktion wovon genau? Von $2 [mm] \cdot [/mm] r [mm] \cdot \frac{A(r)}{\pi}$? [/mm] Dazu muss man $A(r)$ erstmal hinschreiben: es ist offenbar $A(r) = 2 [mm] (F_1 [/mm] - 2 [mm] F_2) [/mm] = 2 [mm] (\frac{\pi}{3} [/mm] - [mm] \frac{\sqrt{3}}{4} [/mm] - 2 [mm] \cdot \frac{1}{2} [/mm] ( [mm] \arcsin [/mm] b - r b ))$. Damit ist dies von der Form $A(r) = [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu \cdot [/mm] r$ mit Konstanten [mm] $\lambda, \mu \in \IR$ [/mm] (die von $b$ abhaengen). Wenn du dies jetzt in $2 [mm] \cdot [/mm] r [mm] \cdot \frac{A(r)}{\pi}$ [/mm] einsetzt erhaelst du ein Polynom von Grad 2, von dem du muehelos eine Stammfunktion finden duerftest.
LG Felix
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