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| Aufgabe | EX1) In einer Ebene sind 15 Geraden gegeben, von denen keine zwei parallel sind und keine drei durch einen Punkt gehen.
(a) Wie viele Schnittpunkte von Geraden gibt es?
(b) Wie viele Dreiecke gibt es?
EX2) Eine Telefonnummer lautet 518-42-18, wieviele (7 stellige) Telefonnummern könen aus diesen Ziffern
gebildet werden. |
Hallo!
Könnte mir jemand einene Tipp geben, wie man das erste Beispiel löst? Also ich dachte mir ich finde mal die gesamte Möglichkeit an Schnittpunkten wenn man 15 Geraden hat und ziehe ich die anderen Möglichkeiten, die sich durch die Einschränkung ("keine zwei parallel sind und keine drei durch einen Punkt gehen") ergeben, ab.
Nur scheitert es bei mir schon daran zu finden wieviele Möglichkeit es für Schnittpunkte geben kann, wenn ich 15 Geraden habe? Vielleicht 15! ?
Zu Ex2) Ich denke hier habe ich eine Permutation mit Wiederholungen und kann somit 7! = 5040 Telefonnummern bilden?
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Zu 1):
Elementare Kombinatorik - Urnenmodell. Denk dir die Geraden als numerierte Kugeln, die ohne Zurücklegen gezogen werden. Für einen Schnittpunkt brauchst du 2 Kugeln (=Geraden) für ein Dreieck 3. Wieviele Möglichkeiten gibt es a) 2 aus 15, b) 3 aus 15 zu ziehen? (Die gegebenen Bedingungen dienen nur dazu, das Beispiel an das Urnenmodell anzupassen.)
Zu 2)
Du musst bedenken, dass die Ziffern 1 und 8 doppelt vorkommen und ein Teil der Telefonnummern deshalb gleich sein wird - du unterscheidest ja nicht zwischen einer ersten und einer zweiten 8. Also musst du die Zahl der Permutationen noch durch einen bestimmten Wert teilen (mach dir ein einfacheres Beispiel wie 1-22 und verallgemeinere das).
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zu 1)
Es gibt [mm] {15\choose 2} [/mm] Möglichkeiten 2 Kugeln aus 15 zu ziehen (ohne zurücklegen, Reihenfolge nicht relevant).
[mm] {15\choose 2} [/mm] = 105 und [mm] {15\choose 3} [/mm] = 455.
Also 105 mögliche Schnittpunkte und mögliche 455 Dreiecke. Aber wieso sollte es mehr Möglichkeiten für Dreiecke als für Schnittpunkte geben?
zu 2) Mit den Zahlen 122 kann ich drei verschiedene Telefonnummern bilden:
122
221
212
Also insgesamt hätte ich 3! = 6 Möglichkeiten mit 3 Zahlen. Da jedoch eine Zahl zweimal vorkommt, muss ich noch durch 2! dividieren. Also habe ich mit 211 [mm] \bruch{3!}{2!} [/mm] = 3 verschiedene Telefonnummern .
Angewendet auf das umfangreichere Beispiel sind das [mm] \bruch{7!}{2!2!} [/mm] = [mm] \bruch{5040}{4} [/mm] = 1260. (1 und 8 kommen jeweils einmal doppelt vor, deshalb muss ich zweimal durch 2! dividieren).
Würde die 8 dreimal vorkommen würde es so aussehen, oder? [mm] \bruch{7!}{2!3!}
[/mm]
Danke für die Hilfe!
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Hey Will, nicht vergessen: Die Tipps kamen aus Frankfurt 
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