Geordnete Menge P(X) Infimum < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei [mm] $\mathfrak{A}$ [/mm] eine nichtleere Teilmenge der geordneten Menge [mm] $(\mathfrak{P}(X),\subset)$. [/mm] Man zeige, dass [mm] \inf(\mathfrak{A})=\bigcap(\mathfrak{A})$ [/mm] gilt. |
Frohes Neues Jahr allerseits!
Ich hätte eine kleine Frage, ob ich richtig argumentiere:
Nach Definition ist
[mm] $\bigcap\mathfrak{A}=\{x\in X:\forall A\in\mathfrak{A}:x\in A\}.$
[/mm]
Für jedes [mm] $A\in\mathfrak{A}$ [/mm] ist daher [mm] $\bigcap\mathfrak{A}\subset [/mm] A$, [mm] $\bigcap\mathfrak{A}$ [/mm] ist also untere Schranke von [mm] $\mathfrak{A}$.
[/mm]
Ist [mm] $I\in\mathfrak{P}(X)$ [/mm] und gilt nicht [mm] $I\subset\bigcap\mathfrak{A}$, [/mm] gibt es also ein [mm] $x\in [/mm] I$ mit [mm] $x\notin\bigcap\mathfrak{A}$, [/mm] dann gilt für [mm] $A\in\mathfrak{A}$ [/mm] stets [mm] $x\notin [/mm] A$, also [mm] $I\not\subset [/mm] A$.
Jede untere Schranke von [mm] $\mathfrak{A}$ [/mm] muss daher Teilmenge von [mm] $\bigcap\mathfrak{A}$ [/mm] sein, es gilt also [mm] $\inf(\mathfrak{A})=\bigcap\mathfrak{A}$.
[/mm]
Vielen Dank schonmal für Hilfe und Liebe Grüße :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm]$\mathfrak{A}$[/mm] eine nichtleere Teilmenge der
> geordneten Menge [mm]$(\mathfrak{P}(X),\subset)$.[/mm] Man zeige,
> dass [mm]\inf(\mathfrak{A})=\bigcap(\mathfrak{A})$[/mm] gilt.
> Frohes Neues Jahr allerseits!
>
> Ich hätte eine kleine Frage, ob ich richtig argumentiere:
>
> Nach Definition ist
>
> [mm]\bigcap\mathfrak{A}=\{x\in X:\forall A\in\mathfrak{A}:x\in A\}.[/mm]
>
> Für jedes [mm]A\in\mathfrak{A}[/mm] ist daher
> [mm]\bigcap\mathfrak{A}\subset A[/mm], [mm]\bigcap\mathfrak{A}[/mm] ist also
> untere Schranke von [mm]\mathfrak{A}[/mm].
> Ist [mm]I\in\mathfrak{P}(X)[/mm] und gilt nicht
> [mm]I\subset\bigcap\mathfrak{A}[/mm], gibt es also ein [mm]x\in I[/mm] mit
> [mm]x\notin\bigcap\mathfrak{A}[/mm], dann gilt für [mm]A\in\mathfrak{A}[/mm]
> stets [mm]x\notin A[/mm], also [mm]I\not\subset A[/mm].
> Jede untere Schranke
> von [mm]\mathfrak{A}[/mm] muss daher Teilmenge von
> [mm]\bigcap\mathfrak{A}[/mm] sein, es gilt also
> [mm]\inf(\mathfrak{A})=\bigcap\mathfrak{A}[/mm].
>
> Vielen Dank schonmal für Hilfe und Liebe Grüße :)
ich hab' jetzt mal sporadisch drübergeguckt, daher warten wir mal auf eine
weitere Meinung, aber ich kann da so keinen Fehler entdecken.
Bei dem letzten Teil führst Du eigentlich sowas wie einen
Widerspruchsbeweis: Angenommem, es gäbe eine "größere" untere
Schranke [mm] $I\,$ [/mm] für diese Mengenfamilie. Dann folgerst Du, dass [mm] $I\,$ [/mm] dann
aber doch keine untere Schranke ist...
(Oder, so wie Du das schreibst, ist es eigentlich sogar eher ein Beweis per
Kontraposition für die Aussage "Ist [mm] $I\,$ [/mm] eine untere Schranke für die
gegebene Mengenfamilie, so folgt schon $I [mm] \subset \bigcap \ldots$" [/mm] .)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Mathematik-Liebhaber,
> Es sei [mm]$\mathfrak{A}$[/mm] eine nichtleere Teilmenge der
> geordneten Menge [mm]$(\mathfrak{P}(X),\subset)$.[/mm] Man zeige,
> dass [mm]\inf(\mathfrak{A})=\bigcap(\mathfrak{A})$[/mm] gilt.
> Frohes Neues Jahr allerseits!
>
> Ich hätte eine kleine Frage, ob ich richtig argumentiere:
>
> Nach Definition ist
>
> [mm]\bigcap\mathfrak{A}=\{x\in X:\forall A\in\mathfrak{A}:x\in A\}.[/mm]
>
> Für jedes [mm]A\in\mathfrak{A}[/mm] ist daher
> [mm]\bigcap\mathfrak{A}\subset A[/mm], [mm]\bigcap\mathfrak{A}[/mm] ist also
> untere Schranke von [mm]\mathfrak{A}[/mm].
Richtig!
> Ist [mm]I\in\mathfrak{P}(X)[/mm] und gilt nicht
> [mm]I\subset\bigcap\mathfrak{A}[/mm], gibt es also ein [mm]x\in I[/mm] mit
> [mm]x\notin\bigcap\mathfrak{A}[/mm], dann gilt für [mm]A\in\mathfrak{A}[/mm]
> stets [mm]x\notin A[/mm], also [mm]I\not\subset A[/mm].
Deine Formulierung ist zweideutig: Meinst Du
"dann gilt: "Für alle [mm] $A\in\mathfrak [/mm] {A}$ ist [mm] $x\notin [/mm] A$" oder
"dann gilt: "Es gibt ein [mm] $A\in\mathfrak [/mm] {A}$ so, daß [mm] $x\notin [/mm] A$ "?
Das Wörtchen "stets" legt die erste Interpretation nahe. Diese Aussage folgt aber nicht aus [mm] $x\notin \bigcap\mathfrak{A}\,.$
[/mm]
Merke: Es ist stets besser, "für alle" zu schreiben statt "stets".
Etwas einfacher ist folgende Argumentation ohne Negationen:
Für jede untere Schranke I von [mm] $\mathfrak [/mm] {A}$ gilt: [mm] $I\subseteq [/mm] A$ für jedes [mm] $A\in\mathfrak [/mm] {A}$. Hieraus folgt [mm] $I\subseteq \bigcap \mathfrak{A}\,.$
[/mm]
> Jede untere Schranke
> von [mm]\mathfrak{A}[/mm] muss daher Teilmenge von
> [mm]\bigcap\mathfrak{A}[/mm] sein, es gilt also
> [mm]\inf(\mathfrak{A})=\bigcap\mathfrak{A}[/mm].
Richtig!
Gruß,
Wolfgang
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Hallo Helbig,
> Hallo Mathematik-Liebhaber,
>
> > Es sei [mm]$\mathfrak{A}$[/mm] eine nichtleere Teilmenge der
> > geordneten Menge [mm]$(\mathfrak{P}(X),\subset)$.[/mm] Man zeige,
> > dass [mm]\inf(\mathfrak{A})=\bigcap(\mathfrak{A})$[/mm] gilt.
> > Frohes Neues Jahr allerseits!
> >
> > Ich hätte eine kleine Frage, ob ich richtig argumentiere:
> >
> > Nach Definition ist
> >
> > [mm]\bigcap\mathfrak{A}=\{x\in X:\forall A\in\mathfrak{A}:x\in A\}.[/mm]
>
> >
> > Für jedes [mm]A\in\mathfrak{A}[/mm] ist daher
> > [mm]\bigcap\mathfrak{A}\subset A[/mm], [mm]\bigcap\mathfrak{A}[/mm] ist also
> > untere Schranke von [mm]\mathfrak{A}[/mm].
>
> Richtig!
>
> > Ist [mm]I\in\mathfrak{P}(X)[/mm] und gilt nicht
> > [mm]I\subset\bigcap\mathfrak{A}[/mm], gibt es also ein [mm]x\in I[/mm] mit
> > [mm]x\notin\bigcap\mathfrak{A}[/mm], dann gilt für [mm]A\in\mathfrak{A}[/mm]
> > stets [mm]x\notin A[/mm], also [mm]I\not\subset A[/mm].
>
> Deine Formulierung ist zweideutig: Meinst Du
>
> "dann gilt: "Für alle [mm]A\in\mathfrak {A}[/mm] ist [mm]x\notin A[/mm]"
> oder
>
> "dann gilt: "Es gibt ein [mm]A\in\mathfrak {A}[/mm] so, daß [mm]x\notin A[/mm]
> "?
>
> Das Wörtchen "stets" legt die erste Interpretation nahe.
> Diese Aussage folgt aber nicht aus [mm]x\notin \bigcap\mathfrak{A}\,.[/mm]
Stimmt, diese Formulierung habe ich von dem anderen Aufgabenteil, wo es um das Supremum ging, übernommen. Das ist natürlich falsch.
>
> Merke: Es ist stets besser, "für alle" zu schreiben statt
> "stets".
>
> Etwas einfacher ist folgende Argumentation ohne
> Negationen:
>
> Für jede untere Schranke I von [mm]\mathfrak {A}[/mm] gilt:
> [mm]I\subseteq A[/mm] für jedes [mm]A\in\mathfrak {A}[/mm]. Hieraus folgt
> [mm]I\subseteq \bigcap \mathfrak{A}\,.[/mm]
>
> > Jede untere Schranke
> > von [mm]\mathfrak{A}[/mm] muss daher Teilmenge von
> > [mm]\bigcap\mathfrak{A}[/mm] sein, es gilt also
> > [mm]\inf(\mathfrak{A})=\bigcap\mathfrak{A}[/mm].
>
> Richtig!
>
> Gruß,
> Wolfgang
Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:53 Di 01.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Mathematik-Liebhaber,
>
> > Es sei [mm]$\mathfrak{A}$[/mm] eine nichtleere Teilmenge der
> > geordneten Menge [mm]$(\mathfrak{P}(X),\subset)$.[/mm] Man zeige,
> > dass [mm]\inf(\mathfrak{A})=\bigcap(\mathfrak{A})$[/mm] gilt.
> > Frohes Neues Jahr allerseits!
> >
> > Ich hätte eine kleine Frage, ob ich richtig argumentiere:
> >
> > Nach Definition ist
> >
> > [mm]\bigcap\mathfrak{A}=\{x\in X:\forall A\in\mathfrak{A}:x\in A\}.[/mm]
>
> >
> > Für jedes [mm]A\in\mathfrak{A}[/mm] ist daher
> > [mm]\bigcap\mathfrak{A}\subset A[/mm], [mm]\bigcap\mathfrak{A}[/mm] ist also
> > untere Schranke von [mm]\mathfrak{A}[/mm].
>
> Richtig!
>
> > Ist [mm]I\in\mathfrak{P}(X)[/mm] und gilt nicht
> > [mm]I\subset\bigcap\mathfrak{A}[/mm], gibt es also ein [mm]x\in I[/mm] mit
> > [mm]x\notin\bigcap\mathfrak{A}[/mm], dann gilt für [mm]A\in\mathfrak{A}[/mm]
> > stets [mm]x\notin A[/mm], also [mm]I\not\subset A[/mm].
>
> Deine Formulierung ist zweideutig: Meinst Du
>
> "dann gilt: "Für alle [mm]A\in\mathfrak {A}[/mm] ist [mm]x\notin A[/mm]"
> oder
>
> "dann gilt: "Es gibt ein [mm]A\in\mathfrak {A}[/mm] so, daß [mm]x\notin A[/mm]
> "?
>
> Das Wörtchen "stets" legt die erste Interpretation nahe.
> Diese Aussage folgt aber nicht aus [mm]x\notin \bigcap\mathfrak{A}\,.[/mm]
diese Korrektur ist vollkommen berechtigt - und ehrlich gesagt: Da habe
auch ich mich täuschen lassen und gar nicht wirklich drüber nachgedacht,
dass da ein Formulierungsfehler vorliegt. Richtigerweise sollte man da
wirklich Deine zweitgenannte Variante schreiben!
So ganz 'formal schön' (okay, das ist ja auch irgendwie Geschmackssache)
kann man das bspw. so schreiben:
[mm] $$x\notin\bigcap\mathfrak{A} \gdw \neg(x \in\bigcap\mathfrak{A}) \gdw \neg(\forall [/mm] A [mm] \in \mathfrak{A}:\;x \in [/mm] A) [mm] \gdw \exists A_0 \in \mathfrak{A}: [/mm] x [mm] \notin A_0\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Dir auch noch lieben Dank für die Antwort, Marcel!
In der "schönen" prädikatenlogischen Formulierung wundert mich aber, was die Index-0 zu bedeuten hat. Kannst du mir das erklären?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Di 01.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dir auch noch lieben Dank für die Antwort, Marcel!
>
> In der "schönen" prädikatenlogischen Formulierung wundert
> mich aber, was die Index-0 zu bedeuten hat. Kannst du mir
> das erklären?
na, das ist doch nur eine Bezeichnung. Du kannst anstatt [mm] $A_0$ [/mm] dort auch
einfach [mm] $A\,$ [/mm] stehen lassen, oder Du schreibst [mm] $\tilde{A}\,,$ [/mm] oder, was
vielleicht sogar noch besser wäre: [mm] $A_x\,.$ [/mm] Mit dem Index [mm] $0\,$ [/mm] deutet
man meist an, dass da etwas 'festgehalten' wird. Und natürlich muss es
ja nicht genau ein solches [mm] $A\,$ [/mm] mit $x [mm] \notin [/mm] A$ geben, aber die Menge
[mm] $\{B \in \mathfrak{A}:\;x \notin B\}$ [/mm] ist sicher nicht leer, also wählen wir aus dieser Menge
ein Element aus, und geben dem Element (was ja selbst wiederum eine Menge
ist, da es ein Element aus [mm] $\mathfrak{A}$ [/mm] ist!) einen speziellen Namen,
um uns besser bewußt zu sein, dass dies ein Element aus [mm] $\mathfrak{A}$
[/mm]
ist, dass sozusagen "einen besonderen Status genießt".
Aber sowas kennst Du doch, oder? Beispiel:
Sei eine Funktion $f: [mm] \IR \supseteq [/mm] D [mm] \to [/mm] W [mm] \subseteq \IR$ [/mm] gegeben. Dann
gilt:
[mm] $f\,$ [/mm] ist per Definitionem genau dann stetig, wenn [mm] $f\,$ [/mm] stetig ist für alle $x [mm] \in D\,.$ [/mm]
(Natürlich definiert man vorher noch, was Stetigkeit in $x [mm] \in [/mm] D$ bedeutet!)
Also ist [mm] $f\,$ [/mm] genau dann nicht stetig, wenn es (mindestens(!!)) ein $x [mm] \in [/mm] D$
so gibt, dass [mm] $f\,$ [/mm] nicht stetig in [mm] $x\,$ [/mm] ist.
Das kannst Du auch formulieren als:
[mm] $f\,$ [/mm] ist genau dann nicht stetig, wenn es (mindestens(!!)) ein [mm] $x_0 \in [/mm] D$
so gibt, dass [mm] $f\,$ [/mm] nicht stetig in [mm] $x_0$ [/mm] ist.
Aber mehr wie "einen Namen verändert" hat man dabei nicht. Man denkt
sich nur da meist einfach:
- [mm] $x\,$ [/mm] ist meist ein beliebiges [mm] $x\,,$ [/mm] d.h., man schreibt eher, dass etwas
für alle [mm] $x\,$ [/mm] gelten soll und beginnt dann bei entsprechenden Aussagen
den Beweis mit "Sei [mm] $x\,$ [/mm] beliebig, aber fest. Dann..."
- [mm] $x_0$ [/mm] steht für ein "ausgezeichnetes" [mm] $x\,,$ [/mm] d.h. hier will man nur ein
spezielles [mm] $x\,$ [/mm] finden, für das etwas gelten soll...
Das ganze hat also eher einen kleinen didaktischen Hintergrund. Denn
natürlich kannst Du auch sagen:
$f: [mm] \IR \supseteq [/mm] D [mm] \to [/mm] W [mm] \subseteq \IR$ [/mm] ist genau dann stetig, wenn [mm] $f\,$ [/mm] stetig in allen
[mm] $Mickymaus_0 \in [/mm] D$ ist, oder sonstiges...
Generell erinnert mich Deine Frage aber an
![[]](/images/popup.gif) Halmos: How to write mathematics
Es gibt halt auch gewisse Notationen, die sich in der Mathematik ein wenig
etabliert haben. So würde ich zum Beispiel, wenn jemand in einem Beweis
[mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ hat und dann irgendwann [mm] $\varepsilon \to [/mm] 0$ laufen lässt, dass als "normal"
hinnehmen (die meisten würden sich da auch nicht wundern), wobei,
wenn jemand [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 0$ hat, ich dann nicht damit rechnen würde, dass man ohne weiteres
einfach [mm] $\varepsilon_0 \to [/mm] 0$ laufen lassen wird. (D.h., in Bezeichnungen stecken oft auch
gewisse Bedeutungen). Ebenso schreibt man Folgen meist als [mm] $(a_n)_{n \in \IN}\,,$ $(a_k)_{k \in \IN}$ [/mm] etc. pp.,
und "wunderlich" wären Notationen wie [mm] $(a_\delta)_{\delta \in \IN}$ [/mm] oder [mm] $(a_\varepsilon)_{\varepsilon \in \IN}\,.$
[/mm]
Genauso, wie wenn man bei einem Beweis $N > 0$ beliebig hätte und dann
irgendwann $N [mm] \to [/mm] 0$ laufen lassen würde - auch das wäre "komisch". D.h.,
gewisse "Suggestionen" gibt es doch bei der Wahl gewisser Bezeichnungen
in der Mathematik - Namen sind zwar Schall und Rauch, aber dennoch sind
sie's dann doch nicht ganz so, wie man's immer sagt. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:04 Di 01.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Nebenbei:
> ...
> Frohes Neues Jahr allerseits!
jetzt ist nach Mitternacht und jetzt gebe ich Dir auch gerne ein frohes NEUES
zurück!
Gruß,
Marcel
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