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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Mi 18.06.2008 | | Autor: | svenpile |
| Aufgabe | Seien P, Q zwei Punkte im [mm] \IR^{2}. [/mm] Sei G:= [mm] \{R \in \IR^{2} | \ \parallel P-R\parallel = \parallel Q-P\parallel\}. [/mm] Sei O:= p+ 0,5 (Q-P). Zeiegn sie :
R [mm] \in [/mm] G [mm] \gdw [/mm] <R-O, P-Q>=0
Schließen sie, dass G eien Gerade ist, d.h ein affiner Unterraum der Dimension 2 in [mm] \IR^{2} [/mm] ist |
Ich habe folgendermaßen angefan gen:
Zuerst habe ich O allgemein als Vektor bestimmt:
[mm] O:=\vektor{p_1 \\ p_2}+0,5\vektor{q_1-p_1 \\ q_2-p_2}=\vektor{0,5p_1+0,5q_1 \\ 0,5p_2+0,5q_2}
[/mm]
So nun habe ich das Skalarprodukt<R-O, P-Q> berechnet und kam nach ziemlich langen Umformungen zum Ergebnis:
[mm] p_1^{2}-2p_1r_1+p_2^{2}-2r_2p_2-q_1^{2}+2q_1r_1-q_2^{2}+2r_2q_2
[/mm]
=0
Da die Normvoraussetzung umgeformt dasselbe ergibt.
[mm] \parallel P-R\parallel [/mm] - [mm] \parallel Q-P\parallel\=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \wurzel{(p_1-r_1)^{2}+ (p_2-r_2)^{2}}-\wurzel{(q_1-r_1)^{2}+(q_2-r_2)^{2}}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow(p_1-r_1)^{2}+ (p_2-r_2)^{2}-(q_1-r_1)^{2}-(q_2-r_2)^{2}=0
[/mm]
und das ergibt dasselbe wie oben.
Ist das soweit korrekt wenn ja mussich eine Rückrichtung zeigen ?
Und wie schließe ich das das eien Gerade ist?
Vielen Dank und liebe Grüße
Sven
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Grüße!
> Ich habe folgendermaßen angefan gen:
>
> Zuerst habe ich O allgemein als Vektor bestimmt:
>
> [mm]O:=\vektor{p_1 \\ p_2}+0,5\vektor{q_1-p_1 \\ q_2-p_2}=\vektor{0,5p_1+0,5q_1 \\ 0,5p_2+0,5q_2}[/mm]
>
> So nun habe ich das Skalarprodukt<R-O, P-Q> berechnet und
> kam nach ziemlich langen Umformungen zum Ergebnis:
>
> [mm]p_1^{2}-2p_1r_1+p_2^{2}-2r_2p_2-q_1^{2}+2q_1r_1-q_2^{2}+2r_2q_2[/mm]
> =0
> Da die Normvoraussetzung umgeformt dasselbe ergibt.
> [mm]\parallel P-R\parallel[/mm] - [mm]\parallel Q-P\parallel\=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \wurzel{(p_1-r_1)^{2}+ (p_2-r_2)^{2}}-\wurzel{(q_1-r_1)^{2}+(q_2-r_2)^{2}}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow(p_1-r_1)^{2}+ (p_2-r_2)^{2}-(q_1-r_1)^{2}-(q_2-r_2)^{2}=0[/mm]
>
> und das ergibt dasselbe wie oben.
> Ist das soweit korrekt wenn ja mussich eine Rückrichtung
> zeigen ?
Naja, Du hast gezeigt, dass beide Bedingungen gleich sind, also sind sie äquivalent... keine Rückrichtung mehr zu zeigen, wenn $R [mm] \in [/mm] G$ gilt, dann folgt daraus die zweite Bedingung und die bedeutet [mm] $\langle [/mm] R - O, P - Q [mm] \rangle [/mm] = 0$ und andersherum.
> Und wie schließe ich das das eien Gerade ist?
Das ist doch jetzt nicht mehr schwer.  Eine affine Gerade ist nichts als eine verschobene Ursprungsgerade (= 1-dim. Unterraum), es reicht also einen solchen Unterraum anzugeben und zu zeigen, dass $G$ eine Verschiebung ist.
Betrachte $G' := [mm] \{ S \in \IR^2 : \langle S, P- Q \rangle = 0 \}$. [/mm] Da $P$ und $Q$ verschieden sind, ist der zweite Vektor ungleich 0 und das Ergebnis ist ein 1-dimensionaler Unterraum im [mm] $\IR^2$, [/mm] das orthogonale Komplement zum Erzeugnis von $P-Q$.
Und nach der obigen Rechnung gilt doch $R [mm] \in [/mm] G [mm] \iff [/mm] R - O [mm] \in [/mm] G'$, also ist $G$ die um $O$ verschobene Gerade $G'$, also ein affiner Unterraum.
Alles klar?
Gruß,
Lars
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