Gerade - Parameterform < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Di 27.03.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | | Keine Aufgabe, nur eine Frage |
Hallo,
Ich habe eine kleine Verständnissfrage zur Parameterform bzw. Punktrichtungsform bei Geraden.
Als Beispiel sei folgende Parameterform einer Geraden gegeben:
[mm] \vektor{3 \\ 4}+\lambda*\vektor{-1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vektor{3 \\ 4} [/mm] ist ja der Ortsvektor, der auf einen Punkt zeigt, welcher auf der Geraden liegt.
[mm] \vektor{-1 \\ 0} [/mm] ist ein Richtungsvektor, der eine Richtung angibt. Hierzu habe ich eine Frage:
Was ist mit "Richtung" genau gemeint? Eine Gerade hat doch keine Richtung, sonst wäre es doch ein Strahl, oder?
Momentan stelle ich mir den Richtungsvektor eher als eine Art "Steigungsvektor" vor, der die Steigung der Geraden angibt....Liege ich damit richtig? Falls ja, was bewirkt dann das [mm] \lambda [/mm] als Faktor davor? Im Prinzip doch, dass die Gerade eben theoretisch verkürzt/verlängert wird, aber da eine Gerade ja unendlich lang ist, hat es keine Auswirkung?!
Die Parametergleichung kann man ja auch als Menge angeben:
g={ [mm] \vektor{3-\lambda \\ 4}|\lambda\in\IR [/mm] }
Wenn man die Gerade nun mit der Parameterform darstellen möchte, müsste man also (theoretisch, was ja nicht geht praktisch, da unendlich lang/groß) alle Reelen Zahlen in [mm] \lambda [/mm] einsetzen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Mi 28.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Keine Aufgabe, nur eine Frage
> Hallo,
>
> Ich habe eine kleine Verständnissfrage zur Parameterform
> bzw. Punktrichtungsform bei Geraden.
>
> Als Beispiel sei folgende Parameterform einer Geraden
> gegeben:
>
> [mm]\vektor{3 \\ 4}+\lambda*\vektor{-1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\vektor{3 \\ 4}[/mm] ist ja der Ortsvektor, der auf einen Punkt
> zeigt, welcher auf der Geraden liegt.
> [mm]\vektor{-1 \\ 0}[/mm] ist ein Richtungsvektor, der eine
> Richtung angibt. Hierzu habe ich eine Frage:
>
> Was ist mit "Richtung" genau gemeint? Eine Gerade hat doch
> keine Richtung, sonst wäre es doch ein Strahl, oder?
ein "Anschauungsvektor" hat eine Richtung und eine Länge (Pfeil!). Die Gerade selbst ist eigentlich folgende Teilmenge des [mm] $\IR^2$:
[/mm]
[mm] $$G=\left\{\vektor{x_1\\x_2} \in \IR^2: \vektor{x_1\\x_2}=\vektor{3 \\ 4}+\lambda*\vektor{-1 \\ 0},\text{ wobei }\lambda \in \IR \right\}\,.$$
[/mm]
Dabei siehst Du, dass das wirklich eine Gerade ist, weil [mm] $\lambda$ [/mm] halt alle reellen Zahlen durchläuft.
So wäre etwa
[mm] $$S_+:=\left\{\vektor{x_1\\x_2} \in \IR^2: \vektor{x_1\\x_2}=\vektor{3 \\ 4}+\lambda*\vektor{-1 \\ 0},\text{ wobei }\lambda \ge 0 \right\}$$
[/mm]
der vom Ortsvektor beginnende Strahl in Richtung des Richtungsvektors [mm] $\vektor{-1 \\ 0}$ [/mm] (dessen "Fuß" im Ortsvektor zugehörigen Punkt angesiedelt sei), und analog
[mm] $$S_-:=\left\{\vektor{x_1\\x_2} \in \IR^2: \vektor{x_1\\x_2}=\vektor{3 \\ 4}+\lambda*\vektor{-1 \\ 0},\text{ wobei }\lambda \le 0 \right\}$$
[/mm]
der im Ortsvektor beginnende Strahl in entgegengesetzter Richtung des Richtungsvektors.
> Momentan stelle ich mir den Richtungsvektor eher als eine
> Art "Steigungsvektor" vor, der die Steigung der Geraden
> angibt....Liege ich damit richtig? Falls ja, was bewirkt
> dann das [mm]\lambda[/mm] als Faktor davor? Im Prinzip doch, dass
> die Gerade eben theoretisch verkürzt/verlängert wird,
> aber da eine Gerade ja unendlich lang ist, hat es keine
> Auswirkung?!
Das [mm] $\lambda$ [/mm] streckt/staucht den Richtungsvektor bzw. wenn es negativ ist, dann streckt/staucht es den dem Richtungsvektor entgegengesetzten Vektor. Dadurch, dass dann dieser "mit [mm] $\lambda$ [/mm] multiplizierte Vektor" mit dem Ortsvektor immer addiert wird, läuft man auf der Geraden entlang (Vektoraddition im geometrischen Sinne!).
> Die Parametergleichung kann man ja auch als Menge angeben:
>
> [mm] $g=\{\vektor{3-\lambda \\ 4}|\lambda\in\IR \}$
[/mm]
>
> Wenn man die Gerade nun mit der Parameterform darstellen
> möchte, müsste man also (theoretisch, was ja nicht geht
> praktisch, da unendlich lang/groß) alle Reelen Zahlen in
> [mm]\lambda[/mm] einsetzen?
Was willst Du damit sagen? Natürlich ist Dein [mm] $g\,$ [/mm] gerade [mm] $=G\,$ [/mm] von mir oben. Das ist eine Teilmenge des [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] wobei alle [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] durchlaufen werden. Anders geschrieben
[mm] $$g=\left\{\vektor{x_1\\x_2} \in \IR^2: \vektor{x_1\\x_2}=\vektor{3 \\ 4}+\lambda*\vektor{-1 \\ 0},\text{ wobei }\lambda \in \IR \right\}=\bigcup_{\lambda \in \IR}\left\{\vektor{x_1\\x_2} \in \IR^2: \vektor{x_1\\x_2}=\vektor{3 \\ 4}+\lambda*\vektor{-1 \\ 0}\right\}=\bigcup_{\lambda \in \IR}\left\{\vektor{3 \\ 4}+\lambda*\vektor{-1 \\ 0}\right\}\,.$$
[/mm]
Was soll da nicht gehen? (Du willst ja nichts programmieren, sondern eine Menge mathematisch beschreiben. Die Menge [mm] $\IR$ [/mm] selbst kannst Du ja auch hinschreiben...)
P.S.
Bitte bedenke, dass man hier in der Anschauung immer "parallele Vektoren mit gleicher Richtung und gleicher Länge" als gleich ansieht. Vielleicht machst Du Dir mal klar, dass die Menge [mm] $G\,$ [/mm] prinzipiell so entsteht:
Der Richtungsvektor [mm] $\vektor{-1\\0}$ [/mm] ist nun der Pfeil, dessen Fuß im Ursprung ist und wo die Pfeilspitze auf den Punkt $(-1,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] zeigt.
Du kannst Dir nun mit dem Orstvektor [mm] $\vektor{3\\4}$ [/mm] bei der Geraden das ganze so vorstellen:
Wenn Du [mm] $\vektor{-1\\0}$ [/mm] mit [mm] $\lambda \ge [/mm] 0$ multiplizierst, so sieht der Vektor [mm] $\lambda*\vektor{-1\\0}$ [/mm] fast genauso aus wie [mm] $\vektor{-1\\0}\,,$ [/mm] nur hat [mm] $\lambda*\vektor{-1\\0}$ [/mm] die [mm] $\lambda$-fache [/mm] Länge von [mm] $\vektor{-1\\0}\,.$ [/mm] Er zeigt aber in die gleiche Richtung. Verschiebst Du nun den Fußpunkt von [mm] $\lambda*\vektor{-1\\0}$ [/mm] durch Parallelverschiebung auf den Punkt $(3,4)$ (das ist der Punkt, wo die Pfeilspitze von [mm] $\vektor{3\\4}$ [/mm] hinzeigt - alle Vektoren sollen ja den Fußpunkt erstmal im Ursprung haben!), so zeigt die verschobene Pfeilspitze auf einen Punkt der Geraden.
Analog kannst Du das mit [mm] $\lambda=0$ [/mm] überlegen (das zeigt dann nur, dass der Orstvektor einen Punkt der Geraden beschreibt) und für [mm] $\lambda [/mm] < 0$ (die Pfeilspitze des Richtungsvektors "dreht sich dann rum").
Tipp:
Berechne doch einfach mal per Vektoraddition bei Dir die Vektoren für
[mm] $$\lambda=2$$
[/mm]
und
[mm] $$\lambda=-2\,.$$
[/mm]
Zur Erläuterung habe ich Dir mal eine Skizze angehängt:
Der blaue Pfeil sei dabei der Ortsvektor der Geraden (er zeigt quasi immer starr auf den entsprechenden Punkt der Geraden). Der rote ist immer ein Vielfaches des Richtungsvektors:
Was ich beschreibe:
a) Bei den Bildern $1 [mm] \to [/mm] 1' [mm] \to [/mm] 1''$ passiert folgendes:
In Bild 1 sind die Vektoren beide "im Ursprung gefußt". Beim Übergang $1 [mm] \to [/mm] 1'$ wird der Richtungsvektor mit einer Zahl [mm] $\lambda [/mm] > 0$ multipliziert, es sollte etwa [mm] $\lambda=2$ [/mm] zum Bild passen. Beim Übergang $1' [mm] \to [/mm] 1''$ zeigt "nach der Parallelverschiebung des [mm] $\lambda$-fachen [/mm] Richtungsvektors (rot) so, dass dessen Fuß auf die Spitze des blauen Pfeils zeigt", dann die Spitze des roten Pfeils nun auf einen Punkt der Geraden.
b) Bei den Bildern $2 [mm] \to [/mm] 2' [mm] \to [/mm] 2''$ passiert folgendes:
In Bild 2 sind die Vektoren beide "im Ursprung gefußt" (das soll das gleiche sein wie bei Bild 1 - wir haben ja die gleiche Ausgangssituation). Beim Übergang $2 [mm] \to [/mm] 2'$ wird der Richtungsvektor mit einer Zahl [mm] $\lambda [/mm] < 0$ multipliziert, es sollte etwa [mm] $\lambda=-2$ [/mm] zum Bild passen. Du siehst nun: Der rote Pfeil zeigt nun in die entgegengesetzte Richtung wie vorher!
Beim Übergang $2' [mm] \to [/mm] 2''$ zeigt "nach der Parallelverschiebung des [mm] $\lambda$-fachen [/mm] Richtungsvektors (rot) so, dass dessen Fuß auf die Spitze des blauen Pfeils zeigt", dann die Spitze des roten Pfeils nun auf einen weiteren Punkt der Geraden.
Ich kann es leider in Worten nicht viel besser beschreiben, aber ich hoffe, dass es einigermaßen klar ist, was da passiert. (Hier wäre nun ein Video super).
[Dateianhang nicht öffentlich]
P.S.
![[]](/images/popup.gif) youtube: Gerade in Parameterform
P.P.S.
Im Video sollte bei [3] natürlich
$$g: [mm] \red{\vektor{x\\y\\z}=}...+...$$
[/mm]
stehen (der Lehrer? hat den roten Teil vergessen, hinzuschreiben)!
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo Marcel,
Erstmal vielen vielen dank für deine sehr ausführliche und auch hilfreiche Antwort!
Deine Beispiele mit den Skizzen haben mir sehr geholfen beim verstehen.
Aber 1 Frage habe ich noch:
Du sagtest bei beiden Beispielen:
> dann die Spitze des roten Pfeils nun auf einen
> Punkt der Geraden.
>
Jeweils das letzte Bild 1´´ und 2´´ betrachtet:
Nur die Pfeilspitze (des roten Richtungsvektors) zeigt auf einen Punkt der Geraden?
Ich hab es eher so verstanden gehabt, dass der gesamte Richtungsvektor praktisch ein Teil der geraden ist (nach der Parallelverschiebung)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Jack,
die Gerade wird wirklich definiert durch die Punkte, die auf der Vektorenspitze liegen. Wenn Du so etwas zeichnen willst, musst Du wohl oder übel diesem Richtungsvektor eine gewisse Länge geben, sonst sieht man ihn nicht, das dient aber nur der Veranschaulichung, mehr nicht. Die Vektorspitze ist der Punkt, auf den es ankommt.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo Infinit,
Danke, jetzt ist es klar. Hab mir auch grad das Video von Marcel nochmal angeschaut. Jetzt habe ich es verstanden.
Danke euch beiden nochmals!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Infinit,
>
> Danke, jetzt ist es klar. Hab mir auch grad das Video von
> Marcel nochmal angeschaut. Jetzt habe ich es verstanden.
nur, damit es keine Missverständnisse gibt: Das ist nicht mein Video, ich hab's nur im Internet gefunden und fand's gar nicht so schlecht. Ich bin aber nicht der Lehrer dort 
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
