Gerade/Ungerade Polynome < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] p(x)=-2x^6 [/mm] + [mm] 4x^4 [/mm] - [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}x [/mm] - 4
a) Machen Sie aus p eine gerade Funktion durch Streichen möglichst weniger Reihenglieder. Ist diese Funktion dann beschränkt?
b) Machen Sie aus p eine gerade Funktion durch Streichen möglichst weniger Reihenglieder. Ist diese Funktion dann beschränkt? |
Leider weiß ich gar nicht, wie ich diese Aufgabe rechnen soll. Habe bis jetzt nur verstanden, was ein gerades und ein ungerades Polynom ist. Also [mm] x^6 [/mm] ist ein gerades Polynom und [mm] x^5 [/mm] ein ungerades. Bei einem geraden handelt es sich Spiegelsymmetrie und bei einem ungeraden um Punktsymmetrie.
Nur was ich jetzt rechnen soll oder wie ich eine Funktion auf Beschränktheit prüfe, weiß ich leider nicht.
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Hallo,
ein gerades Polynom besitzt die Gestalt
[mm] p_g(x)=a_n*x^{2n}+a_\(n-1\)*x^{2n-2}+...+a_1*x^2+a_0
[/mm]
und ist damit natürlich achsensymmetrisch zur y-Achse.
Mache dir klar, welche Summanden in deiner Aufgabe gestrichen werden sollen und untersuche das erhaltene Polynom hinsichtlich des Verhaltens an den Rändern des Definitionsbereichs sowie auf lokale und globale Extrema. Die Resultate dieser beiden Rechnungen liefern dir im Fall von geraden Polynomen die Beschränktheit. Ist dir klar, weshalb?
Gruß, Diophant
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Streiche ich dann alle ungeraden Summanden im Polynom oder nur das höchste?
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Moin,
> Streiche ich dann alle ungeraden Summanden im Polynom oder
> nur das höchste?
vergleiche mal mit der von diophant angebenen Form eines geraden Polynoms. Da kommen gar keine ungeraden Potenzen mehr vor. Also müssen die alle gestrichen werden.
Anmerkung: Polynome vom Grad [mm] \geq1, [/mm] die auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert sind, sind niemals beschränkt, da die höchste Potenz das Polynom im Wachstum/ Fallen dominiert. Ich denke nicht, dass hier auf lokale Extrema geprüft werden muss.
LG
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$ [mm] p(x)=-2x^6 [/mm] $ + $ [mm] 4x^4 [/mm] $ - $ [mm] 2x^3 [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{3}x [/mm] $ - 4
Aber in diesem Polynom hab ich doch noch ungerade Potenzen. [mm] -2x^3 [/mm] und [mm] \bruch{1}{3}x
[/mm]
Ich muss ganz ehrlich sagen, dass ich zur Zeit nicht weiß, wie das weiter gehen soll? Könnte mir jemand mal einen Ansatz aufschreiben, was genau ich rechnen soll? Und was ich bei der a) und bei der b) jeweil streichen soll?
Vielen Dank im vorraus.
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> [mm]p(x)=-2x^6[/mm] + [mm]4x^4[/mm] - [mm]2x^3[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}x[/mm] - 4
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> Aber in diesem Polynom hab ich doch noch ungerade Potenzen.
> [mm]-2x^3[/mm] und [mm]\bruch{1}{3}x[/mm]
Genau diese müssen gestrichen werden, damit das Polynom gerade wird.
>
> Ich muss ganz ehrlich sagen, dass ich zur Zeit nicht weiß,
> wie das weiter gehen soll? Könnte mir jemand mal einen
> Ansatz aufschreiben, was genau ich rechnen soll?
Was willst du denn groß rechnen? Nachdem du die ungeraden Potenzen gestrichen hast, ist der Grad [mm] \geq [/mm] 1
> Und was ich bei der a) und bei der b) jeweil streichen soll?
BTW: Bei dir steht bei a) und b) die gleiche Aufgabe. Copy&Paste Error?
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> Vielen Dank im vorraus.
LG
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Ohje... Du hast Recht. Es sollte heißen:
b) Machen Sie aus p eine ungerade Funktion durch Streichen möglichst weniger Reihenglieder. Ist diese Funktion dann beschränkt?
nochmal zur a) Aber sobald ich doch mindestens ein [mm] x^1 [/mm] habe ist der Grad doch >=1
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> Ohje... Du hast Recht. Es sollte heißen:
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> b) Machen Sie aus p eine ungerade Funktion durch Streichen
> möglichst weniger Reihenglieder. Ist diese Funktion dann
> beschränkt?
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> nochmal zur a) Aber sobald ich doch mindestens ein [mm]x^1[/mm] habe
> ist der Grad doch >=1
Das Lösungspolynom für a) ist [mm] $p_a(x)=-2x^6+4x^4-4$ [/mm]
und es hat Grad 6, also unbeschränkt.
>
>
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 So 08.05.2011 | | Autor: | huzein |
Auch nebenbei wie man auf gerade und ungerade prüfen kann:
Ein Polynom $f$ ist genau dann gerade, wenn für jedes [mm] $x\in\mathbb [/mm] R$ gilt
$f(-x)=f(x)$ (achsensymmetrisch),
und ungerade, falls
$f(-x)=-f(x)$ (punktsymmetrisch).
Also streiche, wie der Vorredner bereits geschrieben hat, die Terme mit ungeraden Exponenten und verifiziere dann nach obiger Definition, dass das Polynom dann gerade ist.
Gruß
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Also rechne ich:
[mm] -2x^6 [/mm] + [mm] 4x^4 [/mm] - 4 = [mm] 2x^6 [/mm] - [mm] 4x^4 [/mm] - 4 ? Also gleichsetzen und das Vorzeichen von x drehen? Setze ich dann für x jetzt einfach eine 1 ein, um Zahlenwerte auszurechen, die ich miteinander vergleichen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 So 08.05.2011 | | Autor: | huzein |
Du hast
$f(-x)= [mm] -2(-x)^6 [/mm] + [mm] 4(-x)^4 [/mm] - [mm] 4=-2x^6 [/mm] + [mm] 4x^4 [/mm] - 4=f(x)$
folgt $f$ ist gerade.
Zahlenwerte brauchst du nicht einsetzen.
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Nochmal eben zum Verständnis:
[mm] (-x)^6 [/mm] = [mm] x^6
[/mm]
und
[mm] (-x)^5 [/mm] = [mm] -x^5
[/mm]
Also die geraden Potenzen sind positiv und die ungeraden negativ. Ist das korrekt?
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Ja ok, gerade nochmal nachgeguckt das stimmt also. Somit hab ich es dann verstanden. Jetzt habe ich nur noch eine Frage zur Beschränktheit. Wie bekomme ich diese heraus? Bei Wikipedia hab ich gerade gelesen: "Polynome geradzahligen Grades sind einseitig beschränkt, die ungeradzahligen Grades unbeschränkt."
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Hallo,
dazu habe ich dir doch oben schon den Tipp gegeben, nach globalen Extrema zu suchen. Ich habe mich aber vielleicht in meinem obigen Beitrag etwas schlampig ausgedrückt*. Weise durch Rechnung nach, dass gerade Polynome ein globales Extremum besitzen, ungerade jedoch nicht. Daraus folgt ja dann für gerade Polynome, dass sie (wovon hängt dies ab?) entweder nach oben oder nach unten beschränkt sind.
Gruß, Diophant
*Unter beschränkt versteht man ja gewöhnlich eine Folge oder Funktion, die nach oben und nach unten beschränkt ist.
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Ok, vielen Dank. Ich war eben nur etwas verwirrt, weil jemand geschrieben hatte, dass gerade Polynome mit dem Grad 1 oder höher nie beschränkt sind. Das wäre ja genau das Gegenteil, was du oder Wikipedia geschrieben hat/hast. Ich werde das morgen früh dann mal versuchen.
VIelen Dank an alle, für eure Zeit und Hilfe.
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Hallo,
nochmal: beschränkt sagt man nur, wenn eine Funktion nach unten und nach oben beschränkt ist. Wenn es nur eine einseitige BEschränkung ist, so nennt man die auch beim Namen, eben durch nach unten beschränkt bzw. nach oben beschränkt.
Mache dir insbesondere noch klar, weshalb Polynomfunktionen nicht beschränkt sein können!
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 So 08.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo hans-itor!
Das stimmt so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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