Gerade durch P senkrecht zu g < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 So 15.03.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Gerade durch [mm] P_1, [/mm] die [mm] g_1 [/mm] rechtwinklig schneidet.
[mm] P_1=(3;2;1)
[/mm]
[mm] g_1: P_2=(0;2;-2) P_3=(3;-1;4) [/mm] |
Also die Gerade habe ich erstmal so angegeben:
[mm] \vec{P_2P_3}=\vektor{3-0 \\ -1-2 \\ 4-(-2)}=\vektor{3 \\ -3 \\ 6}
[/mm]
[mm] g_1 [/mm] : [mm] \vec{r}=\vektor{0 \\ 2 \\ -2}+s*\vektor{3 \\ -3 \\ 6}
[/mm]
Hatte jetzt so eine Idee um rauszufinden welchen Punkt die Gerade auf der Gerade [mm] g_1 [/mm] schneiden muss, damit sie rechtwinklig zueinander sind:
Man muss erstmal zum Ortsvektor der Gerade [mm] g_1, [/mm] dann geht man eine bestimmte "Zeit" auf dem Richtungsvektor entlang.
Das wollte ich eigentlich jetzt einfach mit dem Punkt [mm] P_1 [/mm] multiplizieren und das Ergebnis soll 0 sein.
[mm] \left(\vektor{0 \\ 2 \\ -2}+s*\vektor{3 \\ -3 \\ 6}\right)*\vektor{3 \\ 2 \\ 1}=0
[/mm]
Nur bin ich mir eigtl relativ sicher, dass das falsch ist - es soll ja nicht der Ortsvektor von [mm] P_1 [/mm] senkrecht auf [mm] g_1 [/mm] stehen...
Hmm
Gibt es sonst vielleicht eine möglichkeit, eine geradengleichung rauszufinden, die parallel zu [mm] g_1 [/mm] liegt und durch den Punkt [mm] P_1 [/mm] geht? Dann könnte man doch glaube ich einen Richtungsvektor über das Vektorprodukt der beiden Geraden bzw deren Richtungsvektoren bestimmen.
Eine Gerade, die parallel zu [mm] g_1 [/mm] ist und durch den Punkt [mm] P_1 [/mm] geht müsste doch
[mm] g_2 [/mm] : [mm] \vec{r}=\vektor{3 \\ 2 \\ 1}+u*\vektor{6 \\ -6 \\ 12} [/mm]
sein. Im Prinzip hätte ich auch den gleichen Richtungsvektor nehmen können oder?
Jetzt das Vektorprodukt beider Richtungsvektoren und dann hätte ich eine Gerade [mm] g_3 [/mm] mit [mm] P_1 [/mm] als Ortsvektor und dem Vektorprodukt als Richtungsvektor?
Aber bevor ich jetzt weiter "rate" bitte ich euch lieber um Hilfe...
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo tedd!
Also wir haben das immer wie folgt gemacht:
Wir haben ja die Gerade $ [mm] g_1 [/mm] $ : $ [mm] \vec{r}=\vektor{0 \\ 2 \\ -2}+s\cdot{}\vektor{3 \\ -3 \\ 6} [/mm] $ . Alle Punkte auf dieser Gerade haben die Koordinaten [mm] P_{g}(3s;2-3s;-2+6s). [/mm] Du wirst also, wenn sich die Geraden schneiden sollen, eine zweite Gerade erhalten, die durch die Punkte [mm] P_{1} [/mm] und [mm] P_{g} [/mm] geht. Diese Gerade muss dann senkrecht zur ersten Gerade stehen, d. h. du kannst ihre beiden Richtungsvektoren multiplizieren (Skalarprodukt) und gleich null setzen. Dann bekommst du ein s raus.
Kommst du jetzt alleine weiter?
lg monsterbacke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 So 15.03.2009 | | Autor: | tedd |
Danke für die Antwort Monsterbacke, hab darüber nachgedacht und finde das macht Sinn.
Ich probier's mal 
Also, ein gesuchter Richtungsvektor der Geraden wäre:
[mm] \vec{P_1P_g}=P_g-P_1=\vektor{3*s \\ 2-3*s \\ -2+6*s}-\vektor{3 \\ 2 \\ 1}=\vektor{3*s-3 \\ -3*s \\ -3+6*s}
[/mm]
Jetzt soll dieser Richtungsvektor senkrecht auf dem Richtungsvektor der anderen Geraden stehen...
Also
[mm] \vektor{3*s-3 \\ -3*s \\ -3+6*s}*\vektor{3 \\ -3 \\ 6}=0
[/mm]
(3*s-3)*3+(-3*s)*(-3)+(-3+6*s)*6=0
9*s-9+9*s-18+36*s=0
54*s-27=0
[mm] s=\bruch{1}{2}
[/mm]
Also ist der gesuchte Richtungsvektor:
[mm] \vektor{3*\bruch{1}{2}-3 \\ -3*\bruch{1}{2} \\ -3+6*\bruch{1}{2}}=\vektor{-\bruch{3}{2} \\ -\bruch{3}{2} \\ 0}
[/mm]
Also wäre die gesuchte Gerade fogende:
[mm] \vec{r}=\vektor{3 \\ 2 \\ 1}+t*\vektor{-\bruch{3}{2} \\ -\bruch{3}{2} \\ 0}
[/mm]
So richtig?
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo tedd!
Ja, deine Gleichung stimmt.
lg monsterbacke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 So 15.03.2009 | | Autor: | tedd |
Juhu Danke Monsterbacke!
Gruß,
tedd
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