Gerade durch Punkt und Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Gopal |
| Aufgabe | gegeben sind 2 geraden
[mm] g_1:(x,y,z)^t=(1,3,4)^t+r(1,1,2)^t
[/mm]
[mm] g_2:(x,y,z)^t=(2,0,1)^t+s(0,1,2)^t
[/mm]
und ein punkt P(3,5,1).
stellen sie fest, ob es eine gerade g durch p gibt, die mit [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] je einen punkt gemeinsam hat und bestimmen sie gegebenenfalls eine parameterdarstellung von g |
Hallo,
ich habe geraden [mm] h_1 [/mm] und [mm] h_2 [/mm] bestimmt mit:
[mm] h_1=P+t(P-g_1)
[/mm]
[mm] h_2=P+t(P-g_2)
[/mm]
jetzt konnte ich aber keine r und s finde, so dass [mm] h_1=h_2. [/mm] also gibt es wohl keine Gerade mit den gesuchten Eigenschaften. Die Aufgabenstellung suggeriert aber doch irgendwie, dass es eine solche Gerade gibt. Deswegen frage ich mich, ob ich mich irgendwo vertan habe.
Für einen Kommentar wäre ich dankbar.
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Hi, Gopal,
> gegeben sind 2 geraden
> [mm]g_1:(x,y,z)^t=(1,3,4)^t+r(1,1,2)^t[/mm]
> [mm]g_2:(x,y,z)^t=(2,0,1)^t+s(0,1,2)^t[/mm]
> und ein punkt P(3,5,1).
> stellen sie fest, ob es eine gerade g durch p gibt, die
> mit [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] je einen punkt gemeinsam hat und bestimmen
> sie gegebenenfalls eine parameterdarstellung von g
> ich habe geraden [mm]h_1[/mm] und [mm]h_2[/mm] bestimmt mit:
> [mm]h_1=P+t(P-g_1)[/mm]
> [mm]h_2=P+t(P-g_2)[/mm]
>
> jetzt konnte ich aber keine r und s finde, so dass [mm]h_1=h_2.[/mm]
> also gibt es wohl keine Gerade mit den gesuchten
> Eigenschaften. Die Aufgabenstellung suggeriert aber doch
> irgendwie, dass es eine solche Gerade gibt. Deswegen frage
> ich mich, ob ich mich irgendwo vertan habe.
Also, ich bin ehrlich: Deinen Lösungsansatz versteh' ich gar nicht!
Meine Bemerkungen sind folgende:
Die Geraden sind ja wohl windschief - sonst wäre die Aufgabe zu einfach!
Der Punkt P liegt auf keiner der beiden Geraden - sonst: dito.
Also kannst Du so vorgehen:
Bilde eine Hilfsebene H, die den Punkt P und die Gerade [mm] g_{1} [/mm] enthält;
schneide diese Ebene mit [mm] g_{2} [/mm] und Du hast den ersten der beiden gesuchten Punkte - ich nenne ihn mal Q.
Den zweiten findest Du z.B., indem Du die Gerade PQ mit [mm] g_{1} [/mm] schneidest.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Gopal |
Aufgabe nochmal:
gegeben sind 2 geraden
$ [mm] g_1:(x,y,z)^t=(1,3,4)^t+\lambda(1,1,2)^t [/mm] $
$ [mm] g_2:(x,y,z)^t=(2,0,1)^t+\mu(0,1,2)^t [/mm] $
und ein punkt P(3,5,1).
stellen sie fest, ob es eine gerade g durch p gibt, die mit $ [mm] g_1 [/mm] $ und $ [mm] g_2 [/mm] $ je einen punkt gemeinsam hat und bestimmen sie gegebenenfalls eine parameterdarstellung von g
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Hallo,
Vielen Dank für Deine Antwort. Du Hast Recht, mein Ansatz, so wie ich ihn aufgeschrieben habe macht wirklich keinen Sinn.
Wenn man [mm]h_1=h_2.[/mm] setzt ist ja
> > [mm]h_1=P+t(P-g_1)[/mm]
> > [mm]h_2=P+t(P-g_2)[/mm]
nichts anderes als [mm] g_1=g_2.
[/mm]
Mit dem von dir vorgeschlagenen Ansatz bin ich dann auch schnell auf das richtige Ergebnis gekommen. Danke!
Meine Überlegung funktioniert aber auch, wenn ich nur den obigen Ansatz abändere in
[mm]h_1=P+t(P-g_1)[/mm]
[mm]h_2=P+kt(P-g_2)[/mm]
Meine Überlegung war, dass ich mit [mm]h_1=P+t(P-g_1)[/mm]
also [mm] h_1=\vektor{3\\5\\1}+t(\vektor{3\\5\\1}-[\vektor{1\\3\\4}+\lambda\vektor{1\\1\\2}])
[/mm]
alle Geraden bekomme, die durch P und [mm] g_1 [/mm] gehen. [mm] h_2 [/mm] analog. Wenn es nun eine Gerade durch P gibt, die [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] schneidet, so müsste es Parameter [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] geben so dass [mm] h_1=h_2. [/mm] Funktioniert auch.
Gruß
Andreas
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Hallo Andreas,
lies dazu mal meine Antwort, vor fast einer Viertelstunde abgeschickt. Du hast Deinen Fehler offenbar gefunden!
Grüße,
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Gopal |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Während die kam, war ich gerade dabei meine eigenen Überlegungen nochmal aufzuschreiben.
Gute Nacht dann!
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Namasté, Sri Antaranga Shakti,
Hallo Gopal,
1) Zwergleins Weg ist einfacher zu verstehen und führt Dich sicher zum Ziel, da a) die Geraden windschief sind, b) P weder auf [mm] g_1 [/mm] noch [mm] g_2 [/mm] liegt und c) weder [mm] g_1 [/mm] parallel zur Ebene durch P und [mm] g_2 [/mm] noch [mm] g_2 [/mm] parallel zur Ebene durch P und [mm] g_1 [/mm] liegt.
Sein Weg ist schnell zu rechnen und Du solltest ihn wenigstens zur Kontrolle Deiner Ergebnisse nutzen.
2) Dein Weg ist genauso gut. Du hast ihn missverständlich aufgeschrieben und eine einzige ganz ungeschickte Wahl getroffen, die nicht zulässig war und Dir so das Ergebnis verstellt hat. Tipp vorab: [mm] t\not=t.
[/mm]
Sauber wäre gewesen, Du hättest Dir einen Punkt auf [mm] g_1 [/mm] gewählt:
[mm] G_1=\vektor{1\\3\\4}+r_0\vektor{1\\1\\2} [/mm] und einen auf [mm] g_2: G_2=\vektor{2\\0\\1}+s_0\vektor{0\\1\\2}
[/mm]
So hast Du es ohne Zweifel gedacht, sonst würden Deine Gleichungen keinen Sinn ergeben.
Du hast zwei Gleichungen von Geradenscharen aufgestellt, [mm] h_1 [/mm] für eine Gerade durch P und den (beliebigen) Punkt [mm] G_1 [/mm] auf [mm] g_1 [/mm] und [mm] h_2 [/mm] für eine Gerade durch P und den (ebenfalls beliebigen) Punkt [mm] G_2 [/mm] auf [mm] g_2.
[/mm]
Nun suchst Du nach der einen Geraden, die diese beiden Geradenscharen gemeinsam haben, und setzt zu Recht [mm] h_1 [/mm] und [mm] h_2 [/mm] gleich. Dass Du kein Ergebnis findest, liegt wahrscheinlich nicht an Deinen Rechenkünsten, sondern daran, dass Du in den Gleichungen der beiden Geradenscharen beide Male [mm] "\a{}t" [/mm] als Parameter genommen hast. Damit ist eine Lösung nicht mehr möglich.
Setzt Du in der Gleichung für [mm] h_2 [/mm] beispielsweise [mm] "\a{}u" [/mm] als Parameter, kannst Du Deine Gleichsetzung lösen, aber auch nicht ganz einfach.
Du hättest ja nur drei Gleichungen, aber vier Variable zu bestimmen: [mm] r_0, s_0, \a{}t, \a{}u.
[/mm]
Glücklicherweise kannst Du die letzten beiden zusammenfassen z.B. als [mm] v=\bruch{t}{u}.
[/mm]
Dann erhältst Du ein Gleichungssystem, das auf den ersten Blick nicht linear ist. Es enthält aber außer absoluten Gliedern nur [mm] \a{}v, vr_0 [/mm] und [mm] s_0, [/mm] so dass Du wieder eine Ersetzung vornehmen kannst [mm] (\a{}w=vr_0) [/mm] und endlich bei einem gewöhnlichen LGS mit drei Variablen ankommst. Es ist lösbar, und mit ein bisschen Rechnen erhältst Du folgende Werte:
[mm] r_0=\bruch{6}{7}, s_0=4, v=\bruch{7}{8}=\bruch{t}{u} [/mm] (die Parameter in [mm] h_1, h_2 [/mm] sind also nicht gleich!)
Hier siehst Du vielleicht, warum Zwergleins Weg weniger Fallen stellt. Dein Weg führt Dich durch fünf Variable, zwischendurch musst Du noch Sonderfälle untersuchen (kann [mm] \a{}u=0 [/mm] ausgeschlossen werden?), und Du musst selbst mit der ermittelten Lösung noch wenigstens einen der beiden Punkte [mm] G_1 [/mm] und [mm] G_2 [/mm] bestimmen.
Wenn Du wirklich sicher bist, dass Du Deinen Weg fehlerlos gegangen bist, kannst Du ihn aber vorzeitig abbrechen, denn als erstes lässt sich leicht [mm] s_0 [/mm] finden. Damit hättest Du ja ganz schnell diejenige Gerade aus der Schar [mm] h_2 [/mm] bestimmt, die die Lösung Deiner Aufgabe darstellt. Weder [mm] r_0 [/mm] noch [mm] \a{}v, \a{}t [/mm] oder [mm] \a{}u [/mm] müssten dann bestimmt werden, sie würden nur Kontrollmöglichkeiten anbieten.
Gut gedacht also, aber Du machst es Dir so m.E. zu schwer.
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