Gerade im Raum - Abstand < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:31 Di 20.11.2007 | | Autor: | Blaub33r3 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Gerade g:x = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1} [/mm] + [mm] t*\vektor{4 \\ -3 \\ 5} [/mm] und der Punkt [mm] P(0/0/p_{3}).
[/mm]
Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P von der Geraden g in Abhängigkeit von [mm] p_{3}. [/mm] Für welchen Wert von [mm] p_{3} [/mm] ist der Abstand am geringsten? |
Hallo Leute...
Geringste Strecke ist der Normalenvektor der Geraden, welcher durch den Punkt P geht.
Fußpunkt liegt auf der Geraden hat also die Koordinaten
F(2+4t/1-3t/-1+5t)
Fußpunkt F des Lotes von Punkt P berechnen:
Richtungsvektor der [mm] Gerade(\vec{u}) [/mm] ist orthogonal zum Lotvektor [mm] \overrightarrow{PF}
[/mm]
, somit ist das Skalarprodukt = 0
[mm] \overrightarrow{PF}*\vec{u}
[/mm]
[mm] \vektor{4 \\ -3 \\ 5} *\vektor{2+4t \\ 1-3t \\-1+5t-p_{3}}
[/mm]
damit ergibt sich nach [mm] p_{3}=10t
[/mm]
hm wie gehts weiter und was sagt mir das...wie muss ich das in die Funktion einsetzen und wo?...
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Hmm, erstmal danke!
ähm aber wie gehts denn weiter, nachdem ich t = p3/10 in den Punkt F eingesetzt habe.??
Ich weiß nicht, ich glaube ich erstmal schlafen, das wird nix mehr^^
Gute Nacht, Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Mi 21.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast ja den Fusspunkt gegeben durch:
F=(2+4t/1-3t/-1+5t)
mit [mm] t=\bruch{P_{3}}{10} [/mm] ergibt sich:
[mm] F(2+4\bruch{P_{3}}{10}/1-3\bruch{P_{3}}{10}/-1+5\bruch{P_{3}}{10})
[/mm]
Und die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{PF} [/mm] soll minimal werden.
Also:
[mm] \overrightarrow{PF}
[/mm]
[mm] =\vec{f}-\vec{p}
[/mm]
[mm] =\vektor{2+\bruch{4*P_{3}}{10}\\1-\bruch{3*P_{3}}{10}\\-1+\bruch{5*P_{3}}{10}}-\vektor{0\\0\\P_{3}}
[/mm]
[mm] \vektor{2+\bruch{2*P_{3}}{5}\\1-\bruch{3*P_{3}}{10}\\-1-\bruch{P_{3}}{2}}
[/mm]
Und diesen Vektor sollst du jetzt möglichst kurz machen.
Also:
[mm] |\vektor{2+\bruch{2*P_{3}}{5}\\1-\bruch{3*P_{3}}{10}\\-1-\bruch{P_{3}}{2}}|
[/mm]
[mm] =\wurzel{(2+\bruch{2*P_{3}}{5})²+(1-\bruch{3*P_{3}}{10})²+(-1-\bruch{P_{3}}{2})²}
[/mm]
Hiervon suchst du nun das Minimum
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Blaub33r3 |
Jap. Danke. Da hätte ich eigentlich auch drauf kommen müssen.^^
Aber super...xD
lg, Daniel
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Normalenvektor![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
