Gerade in Hesseform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich suche eine Gerade g in Hesseform (und auch in Hessenormalform) die
folgende Bedingungen erfüllt:
1. g läuft durch Punkt c
2. g senkrecht auf k
C(-3/4)
k: [mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ 4}+\lambda \vektor{1 \\ 2}
[/mm]
Wie gehe ich am besten und am einfachsten vor?
Bitte mit plausibler Erklärung.
Vielen Dank.
Gruß
Goldfinger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Mi 16.08.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Goldfinger,
verzeih die provokative Frage: Könnte es ein, dass Dir die Hesseform, jedenfalls ihr Sinn und Hintergrund, gänzlich ungeläufig ist...?
Ich fang mal kurz mit der Normalenform (zunächst ohne "Hesse") an:
[mm] $\vec [/mm] n * [mm] \left( \vec x - \vec a \right) [/mm] = 0$
Dabei ist [mm] $\vec [/mm] n$ der Normalenvektor, also ein beliebiger Vektor, der senkrecht auf der Geraden steht.
[mm] $\vec [/mm] a$ ist der "Stützvektor", also der Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt auf der Geraden.
[mm] \vec{x} [/mm] ist - wie immer - der Platzhalter für alle denkbaren Ortsvektoren zu allen Punkten auf der Geraden.
Mit dieser Kenntnis solltest Du diese Normalenform schon mal aus den gegebenen Angaben bauen können.
Die Hesseform zeichnet sich nun dadurch aus, dass der Normalenvektor genau eine Länge, einen Betrag, von eins hat. Wie bekommt man diesen Hesseschen Normalenvektor [mm] $\vec{n_0}$? [/mm] Nun, angenommen, der bisherige vorhandene Normalenvektor hat eine Länge von fünf, so braucht man diesen ja nur durch 5 (also durch seinen eigenen Betrag) zu teilen und man erhält einen Vektor der Länge eins:
Beispiel:
[mm] $\left| \vec n \right| =\left| \vektor{3 \\ 4} \right| [/mm] = 5$
$ [mm] \Rightarrow \vec{n_0} [/mm] = [mm] \bruch{\vec n}{\left| \vec n \right|} [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{3 \\ 4} }{5}=\bruch{1}{5} \vektor{3 \\ 4} [/mm] $
Genügt das für Deine Frage?
Noch was zum Hintergrund der "Hesseschen":
Die Differenz $$ ergibt ja den Verbindungsvektor zwischen den Punkten X und A (so nenne ich mal die Endpunkte der beiden entsprechenden Ortsvektoren). Wenn X auf der Geraden liegt, so liegt dieser Verbindungsvektor natürlich auch auf der Geraden und steht somit senkrecht zum Normalenvektor. Das Skalarprodukt zweier senkrecht stehender ("orthogonaler") Vektoren ist aber immer gleich null, daher: [mm] $\vec [/mm] n * ( ... ) = 0$. Liegt X nun nicht auf der Geraden, so steht dieser Verbindungsvektor auch nicht senkrecht auf [mm] \vec{n} [/mm] und das Skalarprodukt ergibt nicht null.
Noch was:
Es gibt verschiedene Schreibweisen der (Hesseschen) Normalenform. Insbesondere kann man ausmultiplizieren und [mm] $\vec [/mm] n * [mm] \vec [/mm] a$ als Skalar ausdrücken:
Beispiel *räusper*:
[mm] $\vektor{1\\2}\left[\vec x - \vektor{-3\\4}\right]=0$
[/mm]
[mm] $\gdw \vektor{1\\2}*\vec [/mm] x - [mm] \vektor{1\\2}*\vektor{-3\\4}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw \vektor{1\\2}*\vec [/mm] x - 5=0$
[mm] $\gdw \vektor{1\\2}*\vec [/mm] x =5$
Die Schreibweise der letzten beiden Zeilen, in der der Stützvektor [mm] \vec{a} [/mm] gar nicht mehr erkennbar ist, sieht man recht oft.
Und weil ich gerade dabei bin: Man kann natürlich noch weiter umformen:
[mm] $\gdw 1*x_1+2*x_2 [/mm] =5$
und schon hat man aus derNormalenform eine Koordinatenform gemacht, aber das nur am Rande...
Um aus dem bisher nicht-Hesseschen Beispiel eine Hessesche Normalenform zu machen, muss man vor den Normalenvektor [mm] $\vektor{1\\2}$ [/mm] freilich noch den Faktor [mm] $\bruch{1}{\wurzel{5}}$ [/mm] setzen (und das ggf. beim späteren Ausmultiplizieren etc. weiter berücksichtigen).
So. Lange Epistel.
Hoffe, sie hat weiter geholfen.
Schöne Grüße,
ardik
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Hallo,
vielen Dank ersteinmal für die schnelle Hilfe.
Nochmal zurück zur Problematik:
Die Hesseform:
[mm] \vec{n}*(\vec{x}-\vec{a})=0 [/mm]
oder
n1(x1-a1)+n2(x2-a2)=0
Jetzt Bezug zu meiner Aufgabenstellung:
Kann man als Aufpunkt bzw. Ortsvektor [mm] \vec{a} [/mm] den Punkt C aus meiner Aufgabe nehmen?
Kann man als Ortsvektor [mm] \vec{x} [/mm] den Aufpunkt von k: aus meiner Aufgabe nehmen?
So hieße die Gleichung:
n1(-3-0)+n2(4-4)=0
und der Normalvektor wäre folgender:
[mm] \vec{n}=\vektor{n1 \\ n2}=\vektor{0 \\ beliebig}
[/mm]
Gesucht war ja eine Gerade in Hesseform die zwei Bedingungen erfüllen sollte:
1. Gerade läuft durch den Punkt c
2. Gerade ist senkrecht auf k
Sind die folgenden Schritte jetzt richtig?
Ich setze ein in die Hesseform: den [mm] \vec{n} [/mm] und den Punkt c:
0(x1-3)+1(x2-4)=0
x2-4=0
Noch eine Frage zum Normalvektor:
Der Normalvektor bei einer Ebene ist das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren?
Vielen Dank
Goldfinger
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Genau richtig!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nein, da wir ja gar nicht wissen, ob die gesuchte Gerade durch diesen Punkt verläuft.
