Gerade und Ungerade Funktionen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Sa 05.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo ihr Lieben, 
also eigentlich mache ich ja immer dasselbe..
Frage aufschreiben und dann meine Lösung und dann Fragen stellen![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Eigentlich habe ich im Zusammenhang zu dieser Aufgabe schon
einmal eine allgemeine Frage gestellt; und auch eine Antwort bekommen.![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Ich habe nun versucht diese Hilfe umzusetzen ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
und eine Lösung zu basteln. Nun denn mal los...
Aufgabe:
Eine Funktion $f [mm] \in Abb(\IR,\IR)$ [/mm] heisst gerade, wenn $f(-t)=f(t)$ für alle $t [mm] \in \IR$, [/mm]
und ungerade, wenn $f(-t)=-f(t)$ für alle $t [mm] \in \IR$.
[/mm]
Man zeige:
(a)
Die Menge [mm] $V_g$ [/mm] der geraden Funktionen, ebenso wie die Menge [mm] $V_u$ [/mm] der ungeraden
Funktionen sind Untervektorräume von [mm] $Abb(\IR,\IR)$.
[/mm]
(b)
[mm] $Abb(\IR,\IR)$ [/mm] ist die direkte Summe von [mm] $V_g$ [/mm] und [mm] $V_u$.
[/mm]
Meine Lösung zu (a)
[mm] [b]$V_g$ [/mm] ist ein Untervektorraum von [mm] $Abb(\IR,\IR)$[/b]
[/mm]
Erste Bedingung: [mm] $V_g \ne \emptyset$
[/mm]
Sei [mm] $V_g=\{f \in Abb(\IR,\IR) | f(-t)=f(t)\}$. [/mm] Offensichtlich ist
$f [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \in V_g$. [/mm]
Zweite Bedingung: [mm] $f_1, f_2 \in V_g \Rightarrow f_1+f_2 \in V_g$
[/mm]
Weiter seien [mm] $f_1, f_2 \in V_g$. [/mm] Dann ist
$ [mm] (f_1 [/mm] + [mm] f_2)(-t)=f_1(-t)+f_2(-t) [/mm] =$ nach Vereinbarung $= [mm] f_1(t) [/mm] + [mm] f_2(t) [/mm] = [mm] (f_1+f_2)(t) [/mm] $,
also ist auch [mm] $f_1+f_2 \in V_g$.
[/mm]
Dritte Bedingung: $f [mm] \in V_g$ [/mm] und [mm] $\lambda \in \IR \Rightarrow \lambda \cdot [/mm] f [mm] \in V_g$
[/mm]
Ist $f [mm] \in V_g$ [/mm] und [mm] $\lambda \in \IR$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $(\lambda \cdot f)(-t)=\lambda \cdot [/mm] f(-t)=$ nach Vereinbarung $= [mm] \lambda \cdot f(t)=(\lambda \cdot [/mm] f)(t)$,
also [mm] $\lambda \cdot [/mm] f [mm] \in V_g$.
[/mm]
Da alle drei Bedingungen erfüllt sind, ist [mm] $V_g$ [/mm] ein
Untervektorraum von [mm] $Abb(\IR,\IR)$.
[/mm]
[mm] [b]$V_u$ [/mm] ist ein Untervektorraum von [mm] $Abb(\IR,\IR)$[/b]
[/mm]
Erste Bedingung: [mm] $V_u \ne \emptyset$
[/mm]
Sei [mm] $V_u=\{f \in Abb(\IR,\IR) | f(-t)=-f(t)\}$. [/mm] Offensichtlich ist
$f [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \in V_u$. [/mm]
Zweite Bedingung: [mm] $f_1, f_2 \in V_u \Rightarrow f_1+f_2 \in V_u$
[/mm]
Weiter seien [mm] $f_1, f_2 \in V_u$. [/mm] Dann ist
$ [mm] (f_1 [/mm] + [mm] f_2)(-t)=f_1(-t)+f_2(-t) [/mm] =$ nach Vereinbarung $= [mm] (-f_1(t)) [/mm] + [mm] (-f_2(t)) [/mm] $
[mm] $=-(f_1(t) [/mm] + [mm] f_2(t)) [/mm] = - [mm] ((f_1 [/mm] + [mm] f_2)(t)) [/mm] = - [mm] (f_1 [/mm] + [mm] f_2)(t) [/mm] $,
also ist auch [mm] $f_1+f_2 \in V_u$.
[/mm]
Dritte Bedingung: $f [mm] \in V_u$ [/mm] und [mm] $\lambda \in \IR \Rightarrow \lambda \cdot [/mm] f [mm] \in V_u$
[/mm]
Ist $f [mm] \in V_u$ [/mm] und [mm] $\lambda \in \IR$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $(\lambda \cdot f)(-t)=\lambda \cdot [/mm] f(-t)=$ nach Vereinbarung $= [mm] \lambda \cdot [/mm] (-f(t))$
$= - [mm] \lambda \cdot [/mm] f(t) = - [mm] (\lambda \cdot [/mm] f)(t)$,
also [mm] $\lambda \cdot [/mm] f [mm] \in V_u$.
[/mm]
Da alle drei Bedingungen erfüllt sind, ist [mm] $V_u$ [/mm] ein
Untervektorraum von [mm] $Abb(\IR,\IR)$.
[/mm]
Meine Lösung zu (b)
Beweis:
Es sind [mm] $V_g$ \subseteq Abb(\IR,\IR)$ [/mm] und [mm] $V_u \subseteq Abb(\IR,\IR)$ [/mm] zwei Teilräume...
...oder soll ich besser schreiben... ?
Es sind [mm] $V_g$ [/mm] und [mm] $V_u$ [/mm] Untervektorräume von $ [mm] Abb(\IR,\IR)$ [/mm] .
" [mm] $\Rightarrow$ [/mm] " :
Es sei $f [mm] \in V_g \cap V_u$, [/mm] dann sind
$f+0=f=0+f$ zwei Darstellungen von $f [mm] \in V_g [/mm] + [mm] V_u$ [/mm] und
wegen der Eindeutigkeit ist $f=0$ (und $0=f$), also das einzige Element
von [mm] $V_g \cap V_u$.
[/mm]
" [mm] $\Leftarrow$ [/mm] " :
Seien [mm] $f_1+f_2=f= f_1' [/mm] + [mm] f_2'$ [/mm] zwei Darstellungen von $f [mm] \in V_g+V_u$. [/mm]
Dann ist [mm] $f_1 [/mm] - [mm] f_1' [/mm] = [mm] f_2' [/mm] - [mm] f_2$, [/mm] wobei [mm] $f_1 [/mm] - [mm] f_1' \in V_g$ [/mm] und [mm] $f_2' [/mm] - [mm] f_2 \in V_u$ [/mm] ist.
Und wegen [mm] $V_g \cap V_u=\{0\}$ [/mm] ist also
[mm] $f_1 [/mm] - [mm] f_1' [/mm] = 0 = [mm] f_2' [/mm] - [mm] f_2$, [/mm] also [mm] $f_1 [/mm] = [mm] f_1' [/mm] $ und [mm] $f_2'= f_2$, [/mm]
d.h. die Darstellung ist eindeutig.
Also ist [mm] $Abb(\IR,\IR)$ [/mm] direkte Summe von [mm] $V_g$ [/mm] und [mm] $V_u$.
[/mm]
Liebe Grüsse
nevinpol
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Sa 05.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo nevinpol
meiner Meinung nach hast du alles korrekt und vorbildlich gelöst. Super!
Mit lieben Grüssen
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