Gerade und ungerade Funktionen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Sa 05.02.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Sei [mm] f:\IR\to\IR [/mm] eine stetig differenzierbare und ungerade Funktion und [mm] g:\IR\to\IR [/mm] eine stetig differenzierbare und gerade Funktion. Zeige [mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=0 [/mm] für alle a>0. |
Hallo Leute,
also ehrlich gesagt hab ich nich so richtig ne Ahnung wie ich das machen soll xD Also ich würde das Integral als erstes trennen in [mm] \integral_{-a}^{0}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}=0 [/mm] So und jetzt macht man ja davon eine Stammfunktion und setzt die Grenzen ein, also steht da F(0)-F(-a)+F(a)-F(0) aber so wirklich bringt mich das nicht weiter oder?:O
Würde mich über einen Denkanstoß freuen xD
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Sa 05.02.2011 | | Autor: | nooschi |
> Sei [mm]f:\IR\to\IR[/mm] eine stetig differenzierbare und ungerade
> Funktion und [mm]g:\IR\to\IR[/mm] eine stetig differenzierbare und
> gerade Funktion. Zeige [mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=0[/mm] für
> alle a>0.
> Hallo Leute,
> also ehrlich gesagt hab ich nich so richtig ne Ahnung wie
> ich das machen soll xD Also ich würde das Integral als
> erstes trennen in [mm]\integral_{-a}^{0}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}=0[/mm]
> So und jetzt macht man ja davon eine Stammfunktion und
> setzt die Grenzen ein, also steht da F(0)-F(-a)+F(a)-F(0)
> aber so wirklich bringt mich das nicht weiter oder?:O
> Würde mich über einen Denkanstoß freuen xD
> Gruß David
nur Tipp: beginne mit deinem Ausdruck: [mm] \integral_{-a}^{0}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx} [/mm] wende eine geeignete Substitution an, sodass der erste Teil gleich dem negativen des zweiten ist ... damit gibt die Summe 0
ausführlich:
was haben wir? f ist gerade, d.h. f(x)=-f(-x)
[mm] $$\integral_{-a}^{0}{f(x) dx}=\integral_{-a}^{0}{-f(-x) dx}$$
[/mm]
und jetzt Substitution t=-x, dt=-dx
[mm] $$\integral_{a}^{0}{f(t) dt}=-\integral_{0}^{a}{f(t) dt}$$
[/mm]
zusammensetzen wie du das bereits hattest:
[mm] $$\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=\integral_{-a}^{0}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}=-\integral_{0}^{a}{f(t) dt}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}=0$$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Sa 05.02.2011 | | Autor: | David90 |
Achso meinst du das^^ verstehe...danke dir^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 So 06.02.2011 | | Autor: | David90 |
Ahh verdammt ich sehe gerade, dass du die Aufgabenstellung falsch gelesen hast, denn f(x) ist ungerade und das heißt es gilt f(x)=f(-x) :O Kann man dann überhaupt noch Substitution machen?:O
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 So 06.02.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo David,
betrachte das ganze doch mal sauber aufgeschrieben (und da scheint Deine Schwierigkeit zu liegen) mit der 0 als eingeführte Grenze, um die Eigenschaft der ungeraden Funktion ausnutzen. Lasse das Integral, das von - a bis Null läuft einfach stehen und setze in dem Bereich, der von 0 bis a läuft -f(-x) ein. Dann substituierst Du das -x, inklusive der Grenzen und drehst die Integralgrenzen rum und das Ergebnis steht da.
Viel Erfolg dabei,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 So 06.02.2011 | | Autor: | David90 |
Ok nagut dann bin ich jetzt an der Stelle dass ich [mm] -\integral_{0}^{a}{f(-x)dx} [/mm] substituiert habe zu [mm] \integral_{0}^{-a}{f(t)dt} [/mm] wieso kann ich denn jetzt die Integrationsgrenzen einfach umdrehen?:O
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 So 06.02.2011 | | Autor: | nooschi |
> Ok nagut dann bin ich jetzt an der Stelle dass ich
> [mm]-\integral_{0}^{a}{f(-x)dx}[/mm] substituiert habe zu
> [mm]\integral_{0}^{-a}{f(t)dt}[/mm] wieso kann ich denn jetzt die
> Integrationsgrenzen einfach umdrehen?:O
das darfst du, wenn du vorne dran ein minus schreibst. das wird aber nicht Sinnvoll, da du dann 2 mal das integral bekommst 
(beachte mein anderer Post, der vorige Rechenweg geht schon, nur Def von "gerade"/"ungerade" falsch verwendet... ungerade Funktion ist Funktion mit f(x)=-f(-x))
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 So 06.02.2011 | | Autor: | nooschi |
> Ahh verdammt ich sehe gerade, dass du die Aufgabenstellung
> falsch gelesen hast, denn f(x) ist ungerade und das heißt
> es gilt f(x)=f(-x) :O Kann man dann überhaupt noch
> Substitution machen?:O
nein, sorry für die verwirrung, ich hab den begriff falsch verwendet!
f ist ungerade, das heisst f(x)=-f(-x)
(das heisst die ganzen Rechnungen stimmen, nur das "gerade" in meinem post muss durch "ungerade" ersetzt werden)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 So 06.02.2011 | | Autor: | David90 |
Achso dann stimmt das ja^^ hab jetzt nur nochmal ne Frage: warum kann man denn schreiben : [mm] \integral_{a}^{0}{f(t) dt}=-\integral_{0}^{a}{f(t) dt}? [/mm]
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 So 06.02.2011 | | Autor: | nooschi |
> Achso dann stimmt das ja^^ hab jetzt nur nochmal ne Frage:
> warum kann man denn schreiben : [mm]\integral_{a}^{0}{f(t) dt}=-\integral_{0}^{a}{f(t) dt}?[/mm]
> Gruß David
das ist eine allgemeine Regel, die immer gilt...
öhm, wie erklärt man das? vielleicht mit der Stammfunktion:
[mm]\integral_{a}^{0}{f(t) dt}=F(0)-F(a)=-(F(a)-F(0))=-\integral_{0}^{a}{f(t) dt}[/mm]
klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 So 06.02.2011 | | Autor: | David90 |
achso ja verstehe:) alles klar^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 So 06.02.2011 | | Autor: | David90 |
sollte natürlich nur ne Mitteilung sein^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 So 06.02.2011 | | Autor: | M.Rex |
> sollte natürlich nur ne Mitteilung sein^^
Ich war mal so frei, und habe das deinem Wunsch entsprechend geändert.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 So 06.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ahh verdammt ich sehe gerade, dass du die Aufgabenstellung
> falsch gelesen hast,
nein, er hat nur fälschlicherweise das Wort "gerade" geschrieben, aber ungerade gemeint.
> denn f(x) ist ungerade und das heißt
> es gilt f(x)=f(-x) :O Kann man dann überhaupt noch
> Substitution machen?:O
Es geht genau so, wie es vorgeschlagen wurde. Das [mm] $f\,$ [/mm] ungerade ist, bedeutet nichts anderes als, dass für alle [mm] $x\,$ [/mm] des Definitionsbereichs von [mm] $f\,$ [/mm] gilt
[mm] $$f(-x)=-f(x)\,.$$
[/mm]
oder, anders ausgedrückt
[mm] $$f(x)=-f(-x)\,.$$
[/mm]
Geometrisch erkennst Du diese Eigenschaft daran, dass der Graph von [mm] $f\,$ [/mm] punktsymmetrisch zum Ursprung $(0,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] ist.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 So 06.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ausführlich:
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> was haben wir? f ist gerade, d.h. f(x)=-f(-x)
gerade [mm] $\longleftrightarrow$ [/mm] ungerade!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mi 09.02.2011 | | Autor: | robos |
> zusammensetzen wie du das bereits hattest:
> [mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=\integral_{-a}^{0}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}=-\integral_{0}^{a}{f(t) dt}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}=0[/mm]
Wie kommt's dass man da einfach sagen kann, das die trotz t und x 0 ergeben? Woher weiß man, wenn man t wieder durch x substituieren würde, das es die selben Eigenschaften wie das x des zweiten Teils erfüllt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Mi 09.02.2011 | | Autor: | QCO |
Zunächst anschaulich: x und t sind Variablen, die kann man doch benennen, wie man will. Wenn ich nur den Name einer Variable ändere, sollte der Wert des Integrals gleich bleiben.
Mathematisch kannst du dir das z.B. auch aus der Substitutionsregel für's Integral herleiten. Wenn [mm]x=t[/mm], dann ist [mm]\bruch{dx}{dt}=1[/mm]. Es gilt also
[mm] \int f(x(t)) dx = \int f(t(x)) * \bruch{dt}{dx} * dx = \int f(t) dt[/mm]
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