Geraden Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Mi 21.06.2006 | | Autor: | moorhuhn |
| Aufgabe 1 | 2.1 Berechne den Abstand des Punktes P von der Ebene e.
b) P=(-12.-1,5) e(A,B,C): A=(-1,6,-1), B=(0,8,2) C=(1,5,10)
c) P=(-21,-2,-7) e(g,A): g: X=(1,-2,1) + t(1,6,5) A=(3,11,12) |
| Aufgabe 2 | 2.3 Gegeben sind die beiden Geraden g und h. Zeige, dass die Geraden windschief sind(kein Schnittpunkt, nicht parallel). Berechne den kürzesten Abstand von g und h.
a) g:X=(1,1,1)+s(8,3,3) h:X=(7,-2,5)+t(0,-1,3)
b) g(A,B) h(C,D) A=(2,4,3) B=(11,1.-3) C=(-2,1,-4) D=(0,0,-5) |
Könnt ihr mir einige Formeln/Tipps zum Rechnen mit Ebenen und Geraden geben?
bzw wie man die Aufgaben ausrechnet. Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Mi 21.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
> 2.1 Berechne den Abstand des Punktes P von der Ebene e.
>
> b) P=(-12.-1,5) e(A,B,C): A=(-1,6,-1), B=(0,8,2)
> C=(1,5,10)
> c) P=(-21,-2,-7) e(g,A): g: X=(1,-2,1) + t(1,6,5)
> A=(3,11,12)
Am einfachsten geht das, wenn du die Ebene in Normalenform aufstellst, also [mm] \vec{n} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = d. Den Vektor [mm] \vec{n} [/mm] berechnest du mit dem Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren deiner Parameterform, das d kannst du mit dem Skalarprodukt aus [mm] \vec{n} [/mm] und [mm] \vec{a} [/mm] berechnen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt stellst du die Gerade g. [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{p} [/mm] + [mm] \mu \vec{n} [/mm] auf, und berechnest den Schnittpunkt S mit der Ebene E. g verläuft nämlich senkrecht zu E. Dann musst du nur noh die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{PS} [/mm] berechnen, die der gesuchte Abstand des Punktes P zur Ebene E ist.
> 2.3 Gegeben sind die beiden Geraden g und h. Zeige, dass
> die Geraden windschief sind(kein Schnittpunkt, nicht
> parallel). Berechne den kürzesten Abstand von g und h.
> a) g:X=(1,1,1)+s(8,3,3)
> h:X=(7,-2,5)+t(0,-1,3)
> b) g(A,B) h(C,D) A=(2,4,3) B=(11,1.-3)
> C=(-2,1,-4) D=(0,0,-5)
hier musst du nur zeigen, dass die Richtungsvektoren [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] nicht parallel, also nicht linear abhängig sind. In Formeln: [mm] \vec{u} \not= \mu \vec{v}.
[/mm]
Dann musst du noch die Geraden gleichsetztn und zeigen, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat. (Du bekommst also eine Gleichung á la 0 = 1, oder so ähnlich)
> Könnt ihr mir einige Formeln/Tipps zum Rechnen mit Ebenen
> und Geraden geben?
> bzw wie man die Aufgaben ausrechnet. Danke!
Generell ist die Normalenform der Ebene besser geeignet, Schnittpunkte oder von Geraden und Ebenen oder Schnittgeraden zweier Ebenen zu berechnen. Ausserdem ist sie besser, um zu prrüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt, oder nicht. Du ersparst dir viele Lineare Gleichungssysteme.
Du kannst nänlcih die Parameterform der Gerade in die Normalenform der Ebene einsetzen. Dann erhältst du eine Gleichung, um das [mm] \lambda [/mm] für den Schnittpunkt zu berechnen.
Ausserdem gilt: Zwei Ebenen sind Parallel, wenn die Normalenvektoren der Ebenen Parallel sind.
Du merkst wahrscheinlich gerade, dass die Parameterform der Ebene eigentlich nur zum Aufstellen der Ebene sehr praktisch ist, für Berechnungen nimm besser die Normalenform.
Ich hoffe, das hilft ein wenig weiter.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Mi 21.06.2006 | | Autor: | moorhuhn |
kannst du mir noch kurz erklären wie man den schnittpunkt der geraden g mit der Ebene ausrechnet. dann würde ich die erste aufgabe verstehen. Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Do 22.06.2006 | | Autor: | giskard |
Hallo moorhuhn!
den schnittpunkt zwischen gerade und ebene auszurechnen ist ganz einfach:
du setzt einfach die gerade in die ebene ein.
wenn du also eine gerade der form
[mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} [/mm] = [mm] \vektor{o1 \\ o2 \\ o3} [/mm] + s* [mm] \vektor{v1 \\ v2 \\ v3}
[/mm]
und eine ebene der form
a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 = b
hast, setzt du einfach den x1-teil der geraden für x1 ein, den x2 teil für x2 usw...
=>
a1(o1+s*v1) + a2(o2 +s*v2) + a3(o3 +s*v3) = b
diese gleichung löst du nach b auf und setzt dann b in die ursprüngliche geradengleichung ein. ausrechnen.
der erhaltene punkt ist dein schnittpunkt.
sieht mit den buchstaben zwar schwierig aus, ist aber äussertst einfach und schnell gemacht!
hoffe, das hilft dir weiter!
Giskard
|
|
|
|
