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Hallo 
Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
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Gegeben sind die Geraden
g:x= [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
h:x= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
k:x= [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \varepsilon \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
und der Punkt P(6/3/4)
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Für Augabe a.) sollte man nun zeigen, dass sich die Geraden g und h in dem Punkt S(1/-1/0) schneiden, was mir soweit auch gelang.
In Aufgabe b.) sollte man nun zeigen, dass h und k windschief zu einander sind, und hier ist nun auch schon meine erste Frage: Wie müsste das Ergebnis hierfür aussehen?? Gibt es dann keine Lösung für die Aufgabe, was dann soviel bedeutet wie, dass die Geraden keinen Schnittpunkt besitzen??!
Aufgabe c.) lautet: Stelle eine Gleichung der Ebene E auf, die durch g und h aufgespannt wird. Was muss ich hierbei nun genau tun??!
In Aufgabe d.) soll man zeigen, dass der Punkt P nicht auf k liegt. Hierzu soll man eine Gleichung der Ebene F aufstellen, die durch P und k bestimmt wird. Hierbei hab ich keinen blassen Schimmer, was ich tun soll...eventuell P in eine der Gleichungen als Richtungsvektor einsetzen?! Und wenn ja, was dann??!
Danke schon mal im Voraus für eure Hilfe 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Do 28.10.2004 | | Autor: | Pirmin |
Hallo,
ich kann dir auf die schnelle vielleicht ein paar tips geben:
zu b) du musst zeigen, dass die beiden richtungsvektoren der geraden
nicht parallel sind und dass sich die geraden nicht schneiden, und dann
haben sie auch keinen schnittpunkt.
zu c) hier hast du ja schon den schnittpunkt von g und h, d.h. du kannst
die ebenengleichung aus diesem punkt und den beiden richtungsvektoren
der geraden aufstellen
zu d) wenn du nur zeigen sollst, dass P nicht auf k liegt, reicht es auch
aus P als x in die Gleichung von k einzusetzen, und wenn das Gleichungssystem
dann nicht erfüllt ist, liegt P auch nicht auf k.
Vielleicht hilft es dir ja weiter.
Gruss,
Sven
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Hi Sven,
deine Antwort hat mir schon ganz gut weiter geholfen. Habe bloß 2 Fragen. Die erste wäre zu c.) :
Müsste die Ebenengleichung dann so aussehen:
E:x= [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \varepsilon \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
???
und zu d.) :
ich setze also für x den punkt P in die Gerade k ein. Nun soll ja gezeigt werden, dass der Punkt P nicht auf k liegt. Muss ich dann einfach nur die Gleichung auflösen? Ich müsste also 3 verschiedene Ergebnisse erhalten, damit P nicht auf k liegt, oder??!
und, wie stelle ich hier die gleichung der Ebene F auf, die durch k und P bestimmt wird?
das wars schon
Danke dir für deine Hilfe,
Lieber Gruß, Sue.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Sa 30.10.2004 | | Autor: | Pirmin |
Hi Sue,
zu c) Nein, nicht ganz. Ein Punkt in Deiner Ebene ist S, und die beiden
Richtungsvektoren sind genau die beiden Richtungsvektoren der Geraden
g und h, also $ [mm] E:x=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \varepsilon \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $
zu d) Ja, wenn P auf k liegt, müssen alle 3 Gleichungen erfüllt seien, was man leicht sieht,
dass dies nicht der Fall ist, also kann P nicht auf k liegen.
Die Bestimmung von F finde ich persönlich nicht so sinnig hier. Ich kann mir denken,
dass folgendes dabei gemeint ist:
Wenn P auf der Geraden k liegen würde, könnte man keine Ebene mittels k und P aufstellen.
Wenn P nicht auf k liegt, dann kann man z.B. den Vektor von P nach (2/4/2) nehmen und kann
dann mit diesem Punkt (2/4/2), der ja auf k liegt, und dem Richtungsvektor von k und mit dem
eben ermittelten Vektor von P nach (2/4/2) alles zum Erstellen einer Ebenengleichung, die
durch P und k bestimmt wird.
Wenn man also so eine Ebenengleichung erstellen kann, kann P nicht auf k liegen.
Aber wie gesagt, finde ich hier nicht so schön.
Liebe Grüsse
Sven
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Hi, danke für die Erklärung.
Liebe Grüße, Sue.
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