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| Aufgabe | Die Skizze zeigt einen Kranarm, der sich um die senkrechte Achse h drehen kann. Wir legen ein Koordinatensystem fest, in dem eine Längeneinheit einem Meter entspricht und dessen z-Achse zur Drehachse h parallel verläuft. Die Punkte A(4; 2; 10), B(2; 2; 10) und C(3; 3; 8) bilden das Verankerungsdreieck des Kranarms, von dessen Spitze S das Kranseil senkrecht bis kurz über den Boden hängt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
b) Die Deckfläche ASB des Kranarms steht senkrecht auf dem Verankerungsdreieck ABC, die Strecken [mm] \overline{AS} [/mm] und [mm] \overline{BS} [/mm] sind jeweils 9m lang. Außerdem liegt der Punkt S höher als der Punkt M. Bestimmen Sie die Koordinaten der Spitze S! Berechnen Sie die Mantelfläche des Körpers ABCS (ABC sei Grundfläche) |
Hallo an den matheraum,
mir ist bereits bekannt:
Punkt M: M(3; 2; 10)
Ebene ABC : 2y+z=14
[mm] \overline{AS}=9m
[/mm]
[mm] \overline{BS}=9m
[/mm]
Ich finde keinen Einstieg in diese Aufgabe, muß ich zunächst die Ebene ASB berechnen, kann mir bitte jemand behilflich sein?
Danke Klaus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Klaus!
Mit der Ebenengleichung hast Du bereits einen Normalenvektor auf die Ebene [mm] $E_{ABC}$ [/mm] , also die Richtung des Vektors [mm] $\vec{n} [/mm] \ = \ [mm] k*\overrightarrow{MS}$ [/mm] .
Die Länge dieses Vektors [mm] $\overrightarrow{MS}$ [/mm] erhältst Du mittels Satz des Pythagoras. Schließlich handelt es sich bei dem Dreieck [mm] $\Delta [/mm] ABS$ um ein gleichschenkliges Dreieck.
Dessen Höhe berechnet sich zu: [mm] $h_{AB} [/mm] \ = \ [mm] \left|\overline{MS}\right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\left|\overline{AS}\right|^2-\left(\bruch{1}{2}*\left|\overline{AB}\right|\right)^2 \ } [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{9^2-\left(\bruch{1}{2}*\left|\overline{AB}\right|\right)^2 \ } [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
meine Ebenengleichung lautet ja:
E: [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ 10}+r\vektor{-2 \\ 0 \\ 0}+s\vektor{-1 \\ 2 \\ -2}
[/mm]
über den Normalenvektor [mm] \vec{n}=\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] weiß ich, er steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren, das Skalarprodukt ist somit =0,
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}*\vektor{-2 \\ 0 \\ 0}=0
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}*\vektor{-1 \\ 1 \\ -2}=0
[/mm]
-2x=0 also x=0
-x+y-2z=0
y-2z=0
y=2z
wähle ich jetzt z. B. z=2 erhalte ich y=4, somit ist ein Normalenvektor [mm] \vec{n}=\vektor{0 \\ 4 \\ 2}
[/mm]
Der Pythagoras ist mir klar, aber woher kommt [mm] |\overline{AB}|=9?
[/mm]
ausgerechnet habe ich erhalten [mm] |\overline{MS}|=\wurzel{80}, [/mm] damit kann ich aber im Moment noch nichts anfangen,
Klaus
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Ok Loddar es geht schneller, man sieht den Normalenvektor ja sofort, dann hatte ich AB und AS verwechselt, klar, jetzt kenne ich: M(3; 2; 10) und [mm] \vec{n}=\vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm] und [mm] |\overline{MS}|=\wurzel{80},
[/mm]
daraus kann ich bilden: [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 10}+k*\vektor{0 \\ 2 \\ 1}=\vektor{S_x \\ S_y \\ S_z}
[/mm]
[mm] (k*0)^{2}+(k*2)^{2}+(k*1)^{2}=80
[/mm]
[mm] 5k^{2}=80
[/mm]
[mm] k\pm4
[/mm]
1. Fall: k=-4: S(3; -6; 6)
2. Fall: k=4: S(3; 10; 14)
der 2. Fall muß die Lösung sein, da verlangt wird, S liegt höher als M
Klaus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Klaus!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Sehr schön ...
Gruß
Loddar
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Hallo an den matheraum,
ich habe mich noch mit der Mantelfläche vom Kran beschäftigt, es sind vier Dreiecke:
1) Dreieck ABC: [mm] A_1=\bruch{1}{2}*|\overline{AB}|*|\overline{MC}|=0,5*2*\wurzel{5}=\wurzel{5}
[/mm]
2) Dreieck ASC: [mm] A_2=\bruch{1}{2}*|\overline{AS}|*|\overline{AC}|=0,5*9*\wurzel{6}=4,5\wurzel{6}
[/mm]
3) Dreieck BSC: [mm] A_3=4,5\wurzel{6}
[/mm]
4) Dreieck ASB: [mm] A_4=\bruch{1}{2}*|\overline{AB}|*|\overline{MS}|=0,5*2*\wurzel{80}=\wurzel{80}
[/mm]
[mm] A_g_e_s=\wurzel{5}+9\wurzel{6}+\wurzel{80}=33,23m^{2}
[/mm]
eigentlich bin ich mir sicher, würde bitte mal jemand drüberschauen,
Danke Klaus
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Hallo Klaus
deine Berechnungen stimmen, beachte aber bitte, du hast ein Dreieck zuviel berechnet, verlangt ist die Mantelfläche, Dreieck ABC ist laut Aufgabe als Grundfläche zu betrachten, entfällt für die Mantelfläche, somit beträgt [mm] A_g_e_s=31m^{2}.
[/mm]
Steffi
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Das hättest Du aber auch schneller aus der Ebenengleichung $2y+z \ = \ 14$ [mm] $\gdw$ $\red{0}*x+\blue{2}*y+\green{1}*z [/mm] \ = \ [mm] \vektor{\red{0} \\ \blue{2} \\ \green{1} }*\vektor{x\\y\\z} [/mm] \ = \ 14$ ablesen können mit [mm] $\vec{n} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{\red{0} \\ \blue{2} \\ \green{1} }$ [/mm] .
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Es gilt (gemäß Aufgabenstellung) [mm]|\overline{A\red{S}}|=9[/mm].
