Geradengleichg. mittels Matrix < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich habe mal eine Frage.
Wir hatten folgende Aufgabe zu lösen:
Man beweise:
Folgende Matrix ist die Gleichung der durch die Punkte (x1,y1) und (x2,y2) aufgespannten Geraden. Wie lautet diese Gleichung? Welche Voraussetzung muss für die Punkte (x1,y1) , (x2,y2) erfüllt sein?
Hier steht die Matrix und die Lösung, welche ich aber nicht ganz nachvollziehen kann.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Meiner Meinung nach brauchte ich bloß die Determinante der Matrix bilden und dann umstellen. Das funktionierte aber nicht richtig.
Wie muss ich vorgehen? Könnte jmd. bitte die Lösung kommentieren?
Danke, das wäre eine große Hilfe.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Maiko
ich weiss jetzt gar nicht, was es da zu kommentieren gibt. Meiner Meinung nach sind die Schritte doch alle ganz klar. Was genau verstehst du denn nicht?
Dein Lösungsansatz ist natürlich schon richtig. Nur braucht es dann noch einen Trick, der bei der angegebenen Lösung nicht nötig ist. Ich nehme mal an, du hast das erhalten (mit deinem Ansatz):
[mm] $x_1y_2+xy_1+yx_2-yx_1-y_1x_2-xy_2=0$
[/mm]
Wenn du das etwas umordnest, kommt das heraus (und das ist bereits ein Wenig trickreich. Woher soll ich die günstige Reihenfolge erahnen?):
[mm] $yx_2-yx_1-y_1x_2-xy_2+xy_1+x_1y_2=0$
[/mm]
So, und jetzt folgt der eigentliche Trick: Man addiert [mm] $x_1y_1$ [/mm] und subtrahiert es gleich wieder:
[mm] $yx_2-yx_1-y_1x_2+x_1y_1-xy_2+xy_1+x_1y_2-x_1y_1=0$
[/mm]
[mm] $yx_2-yx_1-y_1x_2+x_1y_1=xy_2-xy_1-x_1y_2+x_1y_1$
[/mm]
[mm] $y(x_2-x_1)-y_1(x_2-x_1)=x(y_2-y_1)-x_1(y_2-y_1)$
[/mm]
[mm] $(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$
[/mm]
Alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 So 23.01.2005 | | Autor: | Maiko |
Danke für die schnelle Antwort.
Du lagst schon richtig. Bei mir war das Problem, auf diesen "Trick" zu kommen.
Woher weiß ich nun vorher genau, was ich dazu addieren bzw. subtrahieren muss, ohne die Lösung vorher zu haben und zu schauen, was fehlt?
Meiner Meinung nach kann man diesen Trick umgehen, indem man die Matrix (siehe Threadbeginn) in eine äquivalente Matrix (rechts daneben) umformt und dann die Determinante bildet. Wie kommt aber diese Umformung zu stande? Was wurde da getan?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 So 23.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Maiko
> Danke für die schnelle Antwort.
Bitte schön.
> Du lagst schon richtig. Bei mir war das Problem, auf
> diesen "Trick" zu kommen.
>
> Woher weiß ich nun vorher genau, was ich dazu addieren bzw.
> subtrahieren muss, ohne die Lösung vorher zu haben und zu
> schauen, was fehlt?
>
Ja, hier ist genau ein Problem. Oftmals gibt es da nichts anderes als etwas herumzuprobieren. Man hat ja Zeit, un das Tüfteln ist ja das Hobby der Mathematiker! 
Bei dieser konkreten Aufgabe kennt man das Ergebnis aber (die Geradengleichung aufzustellen, wenn man 2 Punkte kennt, sollte ja wohl keine allzu hohe Hürde darstellen!) Und dann kann man sich halt einfach von der anzustrebenden Lösung insprierieren lassen, sprich von dort her etwas rückwärts rechnen.
Das macht ma in der Mathematik oft so! Wenn du einen Fluss überqueren musst, und nicht mehr weiter kommst, kann vielleicht ein Freund, der bereits drüben ist, einen Stein in den Fluss werfen, auf den du deinen Fuss setzen kannst!
> Meiner Meinung nach kann man diesen Trick umgehen, indem
> man die Matrix (siehe Threadbeginn) in eine äquivalente
> Matrix (rechts daneben) umformt und dann die Determinante
> bildet. Wie kommt aber diese Umformung zu stande? Was wurde
> da getan?
>
Nun, man weiss ja, dass der Wert der Determinante durch Elementarumformungen erhalten bleibt. Hier hat man einfach (siehst du das wirklich nicht selber??) die zweite Zeile von der ersten subtrahiert, und die zweite Zeile von der dritten Zeile subtrahiert. Nachher hat man die Detreminante nach der 1. Spalte entwickelt.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:13 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Maiko |
Danke!
Natürlich habe ich selber gesehen, dass dort ganz einfach Umformungen in der Determinante vorgenommen wurden. Fragte mich aber warum. Schließlich kann man auch gleich von der ersten Matrix die Determinante bilden und kommt dann ohne Umformung aufs selbe Ergebnis.
Lieber eine Frage mehr und sich sicher sein, als eine zu wenig und unsicher
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