www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra / VektorrechnungGeradengleichung bestimmen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Geradengleichung bestimmen
Geradengleichung bestimmen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Geradengleichung bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 So 18.12.2005
Autor: Sparrow

Aufgabe
a) Geben sie eine Parallelebene zu E durch P an.
E= [mm] x_{1} [/mm] -  [mm] x_{2} [/mm] + 2 [mm] x_{3} [/mm] - 2 = 0
P (2|0|6)

b) Geben sie eine Gerade g an die P enthält und parallel ist zur Ebene. (selbe gleichung)

c.) Geben sie eine gerade h an die A (1|1|1) enthält und zu g windschief ist.

Meine Überlegungen nun.
Aufgabenteil a:
Normalform --> Parameterform:
E= [mm] x_{1} [/mm] -  [mm] x_{2} [/mm] + 2 [mm] x_{3} [/mm] - 2 = 0

--> E =  [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] +  [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] +  [mm] \mu \vektor{1 \\ 0 \\ -2} [/mm]

Parallel bedeutet dass beide richtungsvektoren linear abhängig sein müssen.
Das heißt ich nehme als Aufhängepunkt einfach den Punkt P und dann noch 2 linear abhängige Vektoren oder?

Beispielslösung:
[mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 6} [/mm] +  [mm] \nu \vektor{2 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{2 \\ 0 \\ -4} [/mm]


Aufgabenteil b:

Normalform --> Parameterform:
E= [mm] x_{1} [/mm] -  [mm] x_{2} [/mm] + 2 [mm] x_{3} [/mm] - 2 = 0

--> E =  [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] +  [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] +  [mm] \mu \vektor{1 \\ 0 \\ -2} [/mm]

(habe [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] = [mm] \mu [/mm] gesetzt.)

Nun zur Aufgabe: Die Gerade muss Parallel zur Ebene sein und durch den Punkt P (2|0|6) gehen.
Parallel heisst die Richtungsvektoren müssen linear abhängig sein.
Also nehme ich nun für dei Gerade den Aufhängepunkt P und einen linear abhängigen Vektor zu einen der Ebenen vekttoren. Ist dies richtig?

Mögliche Lösung: g =
[mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 6} [/mm] +  [mm] \nu \vektor{2 \\ 2 \\ 0} [/mm]

Aufgabenteil c:

windschief = linear unabhängig + kein Schnittpunkt.
Das heißt die beiden Vektoren der zwei Geraden müssen unabhängig sein.

g =
[mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 6} [/mm] +  [mm] \nu \vektor{2 \\ 2 \\ 0} [/mm]

--> h =  
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] +  [mm] \nu \vektor{2 \\ 2 \\ 1} [/mm]

Wie kann ich schnell und einfach überprüfen damit die Gerdaden keinen Schnitt liefern und windschief sind, ausser gleichzusetzen und zu schauen ob ein schnittpunkt rauskommt???



        
Bezug
Geradengleichung bestimmen: Vorschläge
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 So 18.12.2005
Autor: dominik

Hallo Sparrow

Deine Lösungen sind machbar, man kann die Aufgaben auch einfacher angehen; hier meine Vorschläge:

> a) Geben sie eine Parallelebene zu E durch P an.

$E: [mm] x_{1}-x_{2}+2x_{3}-2 [/mm] = 0, P (2|0|6)$

Ansatz: $F: [mm] x_{1}-x_{2}+2x_{3}+k [/mm] = 0$ enthält $P(2|0|6)$: Koordinaten von P einsetzen:
$2-0+2*6+k=0  [mm] \Rightarrow [/mm] k=-14  [mm] \Rightarrow [/mm] F: [mm] x_{1}-x_{2}+2x_{3}-14=0$ [/mm]
Begründung: E//F   [mm] \Rightarrow n_E [/mm] = [mm] n_F [/mm] (parallele Ebenen haben den gleichen oder kolliniearen [parallelen] Normalenvektor).

Falls du zuerst eine Parameterdarstellung wählst - was natürlich auch geht, aber ein bisschen aufwändiger ist -, dann beachte, dass $(1/0/0)$ nicht in der Ebene E liegt (die Gleichung wird nicht erfüllt)!
Nimme zum Beispiel die drei Punkte $A(0/0/1), B(0/-2/0), C(2/0/0)$ und bilde daraus die Richtungsvektoren  [mm] \overrightarrow{BA}= \vektor{0 \\ 2 \\1} [/mm] und  [mm] \overrightarrow {CA}=\vektor{2 \\ 0 \\ -1} [/mm]
Damit ergibt sich die Ebene E:
$E: [mm] \vec{r}= \vektor{0 \\ 0 \\1}+u*\vektor{0 \\ 2 \\1}+v*\vektor{2 \\ 0 \\ -1}$ [/mm]
Für F nimmst du als Stützvektor ganz einfach denjenigen zu P; die Richtungsvektoren von E können einfach übernommen werden:
$F:E: [mm] \vec{r}= \vektor{2 \\ 0 \\6}+u*\vektor{0 \\ 2 \\1}+v*\vektor{2 \\ 0 \\ -1}$ [/mm]
  

> b) Geben sie eine Gerade g an die P enthält und parallel ist zur Ebene.

Auch das geht einfacher: Als Richtungsvektor der Geraden g nimmst du einen der beiden Richtungsvektoren der Ebene E:
[mm] $g:\vec{r}= \vektor{2 \\ 0 \\6}+t*\vektor{0 \\ 2 \\1}$ [/mm]
Wie du siehst, ist die Gleichung von g fast identisch mit derjenigen von F; es fehlt einfach der zweite Richtungsvektor. Da der Punkt P nicht in E liegt (seine Koordinaten erfüllen die Gleichung von E nicht), ist g paralle zu E.

> c.) Geben sie eine gerade h an die A (1|1|1) enthält und zu g windschief ist.   Windschief = linear unabhängig + kein Schnittpunkt. Das heißt die beiden Vektoren der zwei Geraden müssen unabhängig sein.
>  
> [mm] $g:\vec{r}=\vektor{2 \\ 0 \\ 6}+\nu \vektor{2 \\ 2 \\ 0}$ [/mm]
>  
> --> h =  
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] +  [mm]\nu \vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm]

einverstanden, würde es auch so machen!

> Wie kann ich schnell und einfach überprüfen damit die Gerdaden keinen Schnitt liefern und windschief sind, ausser gleichzusetzen und zu schauen ob ein schnittpunkt rauskommt???

Meines Wissens gibt es keine andere Möglichkeit.

Viele Grüsse
dominik

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]