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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Fr 01.04.2005 | | Autor: | june |
hallo, Ich bin total am verzweifeln!! Hilf mir bitte!!
Wie kann ich zeigen, dass alle Geraden der folgenden Schar in derselben Ebene liegen? Und dazu eine Ebenegleichung aufstellen?
g: [mm] \vec{x}= \vektor{-5 \\ 9 \\ -4} [/mm] + t [mm] \vektor{r \\ 2(r-k) \\ -k} [/mm]
mit k,r [mm] \in \IR
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Fr 01.04.2005 | | Autor: | choosy |
Also zuerstmal die ebenen gleichungen:
man wähle für r un k werte,
z.B. $r=0$, $k=-1$
und erhalten den Richtungsvektor der geraden:
[mm] \vektor{0\\ 2\\1}
[/mm]
man wähle nochmal: z.B.
$r=1$, $k=0$ und erhalten den Richtungsvektor der 2. geraden:
[mm] \vektor{1\\ 2\\0}
[/mm]
diese beiden sind offensichtlich linear unabhängig, sie spannen also eine Ebene auf. Damit haben wir mit
$ [mm] \vec{x}= \vektor{-5 \\ 9 \\ -4} [/mm] +s [mm] \vektor{0\\ 2\\1}+t \vektor{1\\ 2\\0}$
[/mm]
eine Ebene gefunden in der 2 der geraden der Schar enthalten sind.
Da alle geraden in einer ebene liegen sollen, müssen wir noch nachrechnen, das diese ebene die eigenschaft erfüllt:
Dazu ist z.B. mit hilfe des Gauss verfahrens zu berechnen:
$ [mm] \vektor{-5 \\ 9 \\ -4} [/mm] +s [mm] \vektor{0\\ 2\\1}+t \vektor{1\\ 2\\0}= \vektor{-5 \\ 9 \\ -4} [/mm] + u [mm] \vektor{r \\ 2(r-k) \\ -k}$
[/mm]
das ergebniss sollte sein, das das gleichungssystem eindeutig lösbar ist.
(wobei u,s und t natürlich von r un k abhängen können)
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