Geradenschar aus Ebene? < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
In einer Aufgabe habe ich die Ebene E in Normalenform: E:x=[1;2;2]+32=0. Ich soll daraus eine Geradenschar machen.
Außerdem habe ich noch den Anstützvektor der Geradenschar, [0;0;-16]. Ist es allein aus diesen Angaben möglich, eine Geradenschar zu machen? Wenn nicht, habe ich noch die Ebene E in Parameterform:
E:x=[-32;0;0]+r*[2;-1;0]+s*[2;0;-1]
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Gruß
JRRT0lkien
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Fr 08.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi
also, aus der parameterform kannst du ganz leicht eine geradenschar machen:
[mm]E:\quad \vektor{-32\\0\\0}+r*\vektor{2\\-1\\0}+s*\vektor{2\\0\\-1}[/mm]
[mm]g_s:\quad \vektor{-32\\0\\0}+r*\vektor{2+2s\\-1\\-s}[/mm]
lieben gruß,
Fulla
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Hi, JRRTolkien,
soll die Geradenschar die GESAMTE EBENE überdecken?
Dann ist Fullas Antwort leider unvollständig, da seine Geradenschar weniger Punkte enthält als die Ebene!
Z.B. liegt der Punkt P(-30; 0; -1) in der Ebene (r=0, s=1), aber er liegt auf keiner Geraden der Schar!
Man muss daher die Gerade g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-32 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] s*\vektor{2 \\ 0 \\ -1} [/mm] zur Schar "hinzufügen".
mfG!
Zwerglein
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Hallo,
so habe ich noch wenig Klarheit.
Fulla, wie bist du auf die Lösung gekommen. Wie hast du anschaulich gedacht?
Zwerglein, wie bist du darauf gekommen, welche Punkte nicht angesprochen werden?
Gruß
JRRT0lkien
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Hi, JRRTolkien,
Fulla hat einfach den 2. Richtungsvektor samt Parameter (s) in den 1. Richtungsvektor hineingezogen.
Dadurch ist er sicher, dass die Geraden der Schar
- alle denselben Aufpunkt haben (folglich ein "Büschel" bilden) und
- in der vorgegebenen Ebene liegen.
Das Problem ist nur, dass die Ebene speziell 2 Geraden enthält, die sich
a) für r=0 bzw.
b) für s=0
ergeben.
Auch diese beiden Geraden haben denselben Aufpunkt wie die Geraden des Büschels.
Aber nur die Gerade, die sich für s=0 ergibt, gehört zum Büschel,
die für r=0 jedoch nicht.
Dies freilich ist bei der Vorgehensweise von Fulla
IMMER SO!
mfG!
Zwerglein
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Hallo Zwerglein!
Danke für deine Antwort. Was mir aber immer noch nicht klar ist: wie kann man die Vorangehensweise _erklären_? Ich habe auf dem Papier einiges rumprobiert, und das worauf ich gerade nicht gekommen bin, ist einfach den zweiten parameter in den ersten reinzuziehen (statdessen habe ich versucht etwas auszuklammern, was nicht geht).
Aber _warum_ muss man es so machen, wie du beschreibst?
Gruß
JRRT0lkien
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Hi, JRRTolkien,
> Danke für deine Antwort. Was mir aber immer noch nicht klar
> ist: wie kann man die Vorangehensweise _erklären_? Ich habe
> auf dem Papier einiges rumprobiert, und das worauf ich
> gerade nicht gekommen bin, ist einfach den zweiten
> parameter in den ersten reinzuziehen (statdessen habe ich
> versucht etwas auszuklammern, was nicht geht).
>
> Aber _warum_ muss man es so machen, wie du beschreibst?
Man "MUSS" es nicht so machen!
Eine Ebene lässt sich nämlich auf unendliche viele Arten als Schar von Geraden darstellen:
Nicht nur, dass man JEDEN BELIEBIGEN Punkt der Ebene als Büschelpunkt nehmen und
den variablen (!) Richtungsvektor auf unterschiedliche Weise schreiben kann,
sie ließe sich - wenn gewünscht - auch in Form von Parallelenscharen darstellen.
Dennoch ist das Verfahren von Fulla natürlich das schnellste - wenn man nicht vergißt, die dabei "verlorengehende" Gerade hinzuzunehmen!
mfG!
Zwerglein
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