Geradenspiegelung/affine Abb. < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Stelle für eine Gerade g= [mm] \vektor{p_1 \\ p_2}+\lambda\vektor{v_1 \\ v_2}| \lambda \in \IR [/mm] die Geradenspiegelung [mm] S_g [/mm] als affine Abbildung dar. |
Kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich hierbei vorgehen muss bzw wie man das macht?
Gruß
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 So 03.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schreibe doch erstmal die Definition einer affinen Abbilung ganz allgemein auf. Was macht diese aus? Und welche "Teile" davon musst du nun noch bestimmen? Und wie kann man da nun die Geradenspeigelung einbauen?
Nennen wir die Geradenspiegelung mal [mm] s_{g}:
[/mm]
Was ist dann
[mm] s_{g}(\vec{e_{1}})=s_{g}\left(\vektor{1\\0}\right)
[/mm]
und
[mm] s_{g}(\vec{e_{2}})=s_{g}\left(\vektor{0\\1}\right)
[/mm]
Und was hat das mit der Matrix einer affinen Abbildung zu tun?
Marius
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Okay, also die Definition aus der Vorlesung von einer affinen Abbildung:
affine Abbildungen sind alle Geradentreuen Abbildungen der Ebene auf sich selbst, wie beispielsweise die Scherung oder Schrägspiegelung.
So haben wir das definiert. Aber ich kann das mit der Geradenspiegelung nicht zeigen. Die Definition hilft mir dabei nicht wirklich weiter.
Ich weiß nur, dass Kollinearität, Parallelität und die Teilverhältnisse bleiben.
Die lineare Transformation lässt sich dann als Matrix-Vektor-Produkt schreiben und die affine Transformation f ergibt sich aus der Matrix A (der Abbildungsmatrix) und dem Verschiebungsvektor [mm] \vec{t}:
[/mm]
[mm] f(\vec{x})= A*\vec{x}+\vec{t} [/mm] muss gelten
Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 Mo 04.07.2011 | | Autor: | Mathegirl |
Kann mir vielleicht noch jemand Tipps geben wie man die Aufgabe löst?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mo 04.07.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
du könntest doch erst mal fesstellen ob bei Spiegelungen parallen paralle bleiben, teilverhältnisse erhalten bleiben usw!
oder du sellst die Spiegelung erstmal her.
zuerst in einer 2 d Zeichnung, darus die gleichung ablesen!
kannst du denn an einer geraden durch (0,0) spiegeln, was ändert sich, wenn die Gerade nicht durch 0 geht? usw.
Du musst unbedingt lernen aufgaben einfach mal anzupacken, mit dem was du weisst rumzuspielen (bzw. denken) viele deiner anfragen wirken so, als ob du ne aufgabe liest, 1. reaktion:"OH, je das kann ich nicht!" 2. Reaktion :Lähmung!
Besseres Vorgehen: welche begriffe darin sind mir denn unklar: aha nachschlagen.
dann kann man ein Bildchen dazu machen?
könnt ich es mit konkreten Zahlen statt der allgemeinen? kann ichs in nem Spezialfall?
Tu irgendwas, um aus der lähmung von "das kann ich nicht" selbst rauszukommen. Genau das wirllst du später deinen S. vermitteln. man glotzt nicht auf ne aufgabe sondern man fängt mit kleinen schrittchen an!
gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:04 Mo 04.07.2011 | | Autor: | Mathegirl |
ja und genau das habe ich ja alles versucht....sonst hätte ich ja hier nicht verzweifelt nachgefragt...
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> ja und genau das habe ich ja alles versucht....sonst hätte
> ich ja hier nicht verzweifelt nachgefragt...
Hallo,
kannst Du vielleicht mal genau sagen, welche Art von Hilfe Du von uns erwartest?
Dafür, daß Du schreibst, daß Du alles versucht hast, ist hier verflixt wenig Lösungsansatz zu sehen - den erwarten wir aber von Dir.
Ich würde mich z.B. mal dafür interessieren, an welcher konkreten Geraden Du mal ein bißchen rumgespiegelt hast.
Welche Punkte hast Du gespiegelt, wie hast Du das getan und mit welchem Ergebnis?
Gruß v. Angela
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[mm] \vektor{0 \\ -2}+\lambda \vektor{3 \\ 2} [/mm] diese Gleichung habe ich gewählt und mir eingezeichnet...und am Punkt 0 gespiegelt, aber alles nur mit geogebra ohne rechnen..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mo 04.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
dan sieh mal nach wohin der Vektor (1,0) und (0,1) gespiegelt wird, wie könnte man das rechnen? oder wie wenn man das bild nur abliestm die matrix a und den Vektor b finden?
kannst du das mit ner spiegelung an $ [mm] \vektor{0 \\ 0}+\lambda \vektor{3 \\ 2} [/mm] $, was hat dies spiegelung mit der ersten zu tun? machs erstmal in geogebra, dann erläutere deine Erkenntnisse hier!
Was hast du zu rechnen probiert? alles was man mit zirkel und lineal zeichnen kann, jann man ab klasse 9 i.a, auch rechnen!
gruss leduart
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wie kommst du auf diesen vektor (0,1) und (1,0)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Mo 04.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das sind die kanonischen basisvektoren, wenn man deren bild kennt, kann man daraus das Bild beliebiger Vektoren bestimmen!
Warum machst dus nicht einfach mal, bevor du wieder postest und teil deine erkenntnisse mit.
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Di 05.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
> wie kommst du auf diesen vektor (0,1) und (1,0)?
Das sind die Einheitsvektoren, dessen Bilder sind die Spalten der zu der Abbildung gehörenden Matrix.
Genau das habe ich versucht, mit meiner ersten Antwort zu erläutern.
Marius
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> Stelle für eine Gerade g= [mm]\vektor{p_1 \\
p_2}+\lambda\vektor{v_1 \\
v_2}| \lambda \in \IR[/mm]
> die Geradenspiegelung [mm]S_g[/mm] als affine Abbildung dar.
Hallo,
Du hast ja inzwischen nachgelesen, daß das Fernziel ist, die Abbildungsvorschrift von [mm] s_g [/mm] in der Form
[mm] s_g(\vec{x})=A\vec{x}+\vec{t} [/mm] zu schreiben.
>
> Kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich hierbei vorgehen
> muss bzw wie man das macht?
Wir überlegen lieber, wie Du vorgehen kannst, als daß wir darüber nachdenken, wie "man" das macht.
Da Du offenbar große Schwierigkeiten hast, greifen wir leduarts Vorschlag, die Angelegenheit erstmal für eine konkrete Gerade g zu überlegen, auf.
Du hattest Dich entschieden, die Spiegelung [mm] s_g [/mm] an der Geraden
[mm] g:\qquad \vec{x}=$ \vektor{0 \\ -2}+\lambda \vektor{3 \\ 2} [/mm] $
zu untersuchen.
"Spiegelung an g" bedeutet, daß Punkte an g gespiegelt werden sollen, nicht etwa, wie eins Deiner Posts vermuten läßt, daß die Gerade an irgendwas gespiegelt werden soll.
Du hattest Dich entschlossen, erstmal ein bißchen mit Geogebra zu spielen, was kein prinzipieller Fehler ist, sofern Dich dies zu Rechnungen inspieriert, die Du später auch durchführst.
Ich greife also Deine "Geogebra verwenden"-Idee erstmal auf:
nimm die Gerade g und spiegele erstmal ein paar Punkte daran.
Könntest Du die gespiegelten Punkte mit Zirkel und Lineal/Geodreieck konstruieren? Wie?
Du solltest auch mit den Kenntnissen der Oberstufe die Bildpunkte errechnen können.
Die rechnerische Behandlung von Spiegelungen an Geraden, die nicht durch den Ursprung gehen ist schwieriger als die von Ursprungsgeraden.
Schauen wir also als nächstes mal die Spiegelung an der Geraden
[mm] g_0:\qquad \vec{x}=\lambda \vektor{3 \\ 2} [/mm]
an.
Dies ist eine lineare Abbildung.
Kannst Du die Funktionsvorschrift aufstellen?
(Lineare Abbildungen sind eindeutig durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis bestimmt.)
Wenn Du [mm] s_{g_0}(\vektor{1\\0}) [/mm] und [mm] s_{g_0}(\vektor{0\\1}) [/mm] kennst, dann kennst Du die Abbildung und kannst sie entweder schreiben als
[mm] s_{g_0}(\vektor{x_1\\x_2})=\vektor{...\\...} [/mm] oder als
[mm] s_{g_0}\vec{x}=A\vec{x}.
[/mm]
Wenn Dir dies Schwierigkeiten macht, solltest Du unbedingt die Themen lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen nacharbeiten.
Danach könntest Du Dir mal überlegen - gerne durch Spielen mit Geogebra -, wie Du die Spiegelung an der Geraden g mithilfe einer Spiegelung an [mm] g_0 [/mm] bekommen kannst.
Tip: die ganze Chose, also Gerade und zu spiegelnde Punkte so ziehen, daß der Stützvektor von g im Ursprung zu liegen kommt, spiegeln, zurückschieben.
Wenn Du dies dann anschließend rechnerisch umsetzt, hast Du die Lösung Deiner Aufgabe.
So, nun schauen wir mal, was Du mit diesen Bauklötzen so anstellst.
Gruß v. Angela
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