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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Mo 07.03.2011 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass das GSV für folgende Matrix [mm] A\in \IR^{n\times n} [/mm] konvergent ist.
1<=i,j<=n:
[mm] a_{i,j}=\begin{cases} 2^{-i}, & \mbox {fuer} i>j \\ 2^{i-1}, & \mbox{fuer } i<=j \end{cases} [/mm] |
Hey, ich komm bei der Aufgabe nicht weiter. Hat da jemand einen Trick für mich, das strikte Zeilensummenkriterium passt ja schonmal nicht. Kann man das auch für die Spalten machen? Dann müsste es doch eigentlich stimmen oder? Oder gibt es noch einen anderen Satz den man anwenden kann?
Danke schonmal für eure hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Fr 11.03.2011 | | Autor: | max3000 |
Hast du mal geprüft, ob die Matrix diagonaldominant ist?
Einfach mal in einer Zeile alles außer die Diagonale zusammenrechnen.
Gilt dann
[mm] $\summe_{j=0,j\ne i}^m [/mm] a_ij < [mm] a_{ii}$?
[/mm]
Wenn das nicht geht musst du etwas tiefer reingehen.
Die Konvergenzbeweise von allen Splitting-Verfahren verwenden den Banachschen Fixpunktsatz.
Dazu betrachtest du die Fixpunktgleichung
[mm] \hat{x}=D^{-1}(D-A)x
[/mm]
und schaust nach, ob der Operator [mm] T:=D^{-1}(D-A) [/mm] bezüglich der Spektralnorm kontrahierend ist. Dann bist du fertig.
Versuch das ganze erstmal selber und gib uns bescheid ob einer dieser Ansätze erfolgreich war.
Jetzt wollt ich grad posten, aber ich sehe grad, dass [mm] D^{-1}(A-D)<1 [/mm] genau das selbe ist wie die Diagonaldominanz.
Also vergiss das mit dem Banach.
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